Lema de Bhaskara

Predefinição:Sem notas Lema de Bhaskara é uma identidade matemática usada como lema matemático durante o método chakravala. Diz que:

$N{x}^2+k=y^2⟹N{\left(\frac{mx+y}{k}\right)}^2+\frac{m^2-N}{k}={\left(\frac{my+Nx}{k}\right)}^2$

para inteiros $m,x,y,N,$ e inteiro diferente de zero $k$.

Foi teoremizado pelo matemático indiano Bhaskara Akaria, daí seu nome.

Prova matemática

A prova matemática segue de manipulações algébricas simples como segue: multiplique ambos os lados da equação por $m^2-N$, adicionar $N^2{x}^2+2Nmxy+N{y}^2$, fatorar e dividir por $k^2$.

$N{x}^2+k=y^2⟹N{m}^2{x}^2-N^2{x}^2+k(m^2-N)=m^2{y}^2-N{y}^2$

$⟹N{m}^2{x}^2+2Nmxy+N{y}^2+k(m^2-N)=m^2{y}^2+2Nmxy+N^2{x}^2$

$⟹N(mx+y{)}^2+k(m^2-N)=(my+Nx{)}^2$

$⟹N{\left(\frac{mx+y}{k}\right)}^2+\frac{m^2-N}{k}={\left(\frac{my+Nx}{k}\right)}^2.$

Desde que nem $k$ nem $m^2-N$ sejam iguais a zero, a conclusão acima é verdadeira em ambas as direções. (Este lema matemático vale para números reais ou complexos, bem como inteiros.)

Referências

• C. O. Selenius, "Rationale of the chakravala process of Jayadeva and Bhaskara II", Historia Mathematica, 2 (1975), 167-184.
• C. O. Selenius, Kettenbruch theoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-Gleichung, Acta Acad. Abo. Math. Phys. 23 (10) (1963).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (1975).

Ligações externas

• Introduction to chakravala