Constante de Gauss

G = \frac{1}{a g m (1, \sqrt{2})} = 0, 8346268 \dots

G = \frac{2}{π} \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{4}}}

sendo que:

G = \frac{1}{2 π} B (\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}, \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix})

Relações com outras constantes

A Constante de Gauss pode ser expressa usando o valor da função beta em (1/4, 1/2):

Γ (\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}) = \sqrt{2 G \sqrt{2 π^{3}}}

ou novamente, graças ao valor da função gama em 1/4:

G = Γ (\frac{1}{4})^{2} / (2 π)^{3 / 2}

A Constante de Gauss também pode ser usada na definição das Constantes de Lemniscata.

L_{1} = π G

L_{2} = \frac{1}{2 G}

que surgem em problemas de cálculo de comprimento do arco de uma lemniscata.

A Constante de Gauss também pode ser expressa usando a função teta de Jacobi:

G = ϑ_{01}^{2} (e^{- π})

.

Uma série rapidamente convergente para a Constante de Gauss é:

G = \sqrt[4]{32} e^{- \frac{π}{3}} {(\sum_{n = - \infty}^{\infty} (- 1)^{n} e^{- 2 n π (3 n + 1)})}^{2}

.

A constante também é dada por um produto infinito:

G = \prod_{m = 1}^{\infty} \tanh^{2} (\frac{π m}{2})

.

A Constante de Gauss tem fração contínua [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …]Predefinição:Nota de rodapé