Derivada logarítmica

Na matemática, especificamente cálculo e análise complexa, a derivada logarítmica de uma função é definida pela fórmula:

$\frac{f^{\prime }}{f}$, onde $f^{\prime }$ é a derivada de $f$

Nestas condições, muitas propriedades básicas do logaritmo também são válidas para essa condição, ainda quando a função não toma valores reais positivos. Algumas destas identidades são:

$(\log uv{)}^{\prime }=(\log u+\log v{)}^{\prime }=(\log u{)}^{\prime }+(\log v{)}^{\prime }.$

$\frac{(uv{)}^{\prime }}{uv}=\frac{u^{\prime }v+u{v}^{\prime }}{uv}=\frac{u^{\prime }}{u}+\frac{v^{\prime }}{v}.$

$\frac{(1/u{)}^{\prime }}{1/u}=\frac{-u^{\prime }/u^2}{1/u}=-\frac{u^{\prime }}{u},$

Demonstração da derivada logarítmica

Considerando uma função logarítmica do logaritmo natural $f(x)=\ln (x)$, vamos provar que sua derivada é a $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$.

O logaritmo natural de t é a área hachurada do gráfico da função f(x) = 1/x.

Utilizando o conceito de derivada, temos que:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+h)-\ln (x)}{h}$

Uma das propriedades dos logaritmos transforma uma diferença de logaritmos em quociente, assim:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\ln \left(\frac{x+h}{x}\right)$

Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmo fazemos:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\ln {\left(\frac{x+h}{x}\right)}^{1/h}$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\ln {(1+\frac{h}{x})}^{1/h}$

Aplicando uma mudança de variável

$\frac{h}{x}=t$ → $h=xt$

Observamos que, quando h→0, então t→0. Essa troca é equivalente e não altera o limite. Desta forma:

$f^{\prime }(x)=\underset{t\to 0}{\lim }\ln (1+t{)}^{1/xt}$

$f^{\prime }(x)=\underset{t\to 0}{\lim }[\ln (1+t{)}^{1/t}{]}^{1/x}$

No entanto, do limite fundamental exponencial, sabemos que

$\underset{t\to 0}{\lim }(1+t{)}^{1/t}=e$

Logo:

$f^{\prime }(x)=\ln (e{)}^{1/x}=\frac{1}{x}\ln (e)$

Mas, $\ln (e)=1$ , portanto :

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}.$