Diâmetro angular

Dois objectos de dimensões diferentes com o mesmo diâmetro angular

Em astronomia e geometria, o diâmetro angular de um objeto é o diâmetro aparente do objeto a um certa distância medido em graus (º).

Na astronomia o diâmetro angular é usado para medir o tamanho de objetos no céu, como visto da Terra. Conhecendo a distância até o objeto e seu diâmetro angular é possível então calcular o seu tamanho real.

O diâmetro angular da órbita da Terra quando vista de uma distância de 1 parsec é igual a 2″ (2 segundos de arco).

Calculando o diâmetro angular

Suponha um objeto de diâmetro d a uma distância R. O ângulo aparente pelo qual vemos o objeto pode ser obtido pela tangente:

$\tan (\delta )=\frac{d}{R}$

portanto

$\delta =\arctan \left(\frac{d}{R}\right)$

Nosso problema é então calcular $\delta$. Mas a definição acima dará $\delta$ em unidades de radianos, para convertermos para arco, ou graus (°), temos que levar em conta que um ângulo de 360° tem $2\pi$ radianos.

Para uso em astronomia, podemos utilizar um simplificação da expressão acima para o diâmetro aparente. Isto porque na grande maioria dos casos os distâncias que estamos observando são muito maiores do que os diâmetros. Neste caso podemos aproximar o diâmetro angular como:

$\delta =\frac{d}{R}$

Convertendo $\delta$ para °, usando uma regra de três simples, temos:

$\delta =\frac{d}{R}\times \frac{360}{2\pi }$

Em astronomia normalmente podemos medir $\delta$ e algumas vezes sabemos o diâmetro ou a distância. A formula acima pode então ser utilizada para calcular uma das grandezas desconhecidas.

Exemplo

Qual a distância que é necessário colocar um moeda para que seu diâmetro angular seja de 1°?.

Suponhamos para simplificar que a moeda tenha 1 cm de diâmetro. Portanto queremos $\delta =1^o$ para d = 1 cm, temos:

$1^o=\frac{1cm}{R}\times \frac{360}{2\pi }=57,29746cm$

Isto daria uma distância de aproximadamente 57 centímetros. Agora você sabe como enxergar uma ângulo de 1°: um centímetro a distância de um braço estendido tem aproximadamente um diâmetro angular de 1°.

Para entender o que seria um minuto de arco, 1/60 avos de 1°, é só calcular a distância para colocar esta moeda de 1 cm de forma que o diâmetro angular seja 1′ de arco

$1^{\prime }=1/60\times 1^o=\frac{1cm}{R}\times \frac{360}{2\pi }$

Ou

$R=60\times \frac{1cm}{R}\times \frac{360}{2\pi }=3437,847cm=34,37m$

Continuando este cálculo, podemos mostrar que um segundo de arco (1′ divido por 60) seria então o diâmetro angular de uma moeda de 1 cm a 2,1 Km de distância. A area total da capsula que apresenta 54 cm de diâmetro interno e 4,5 m de altura é de aproximadamente? dado pi=3,14

Ver também

• parsec