Diferencial exato

No cálculo com múltiplas variáveis, uma diferencial é dita ser exata (ou perfeita),^[1] em contraste com uma diferencial inexata,^[2] se é de forma $d Q$ , para alguma função $Q$ diferenciável.^[3]^[4]^[5]

Interpretação

Trabalhamos em três dimensões, com definições semelhantes fixando em qualquer outro número de dimensões. Em três dimensões, uma forma do tipo

A (x, y, z) d x + B (x, y, z) d y + C (x, y, z) d z

é chamada de forma diferencial.^[6] Esta forma é chamada exata em um domínio $D \subset ℝ^{3}$ no espaço se existe alguma função escalar $Q = Q (x, y, z)$ definida em $D$ de tal forma que

d Q \equiv {(\frac{\partial Q}{\partial x})}_{y, z} d x + {(\frac{\partial Q}{\partial y})}_{z, x} d y + {(\frac{\partial Q}{\partial z})}_{x, y} d z,

Predefinição:Pad

d Q = A d x + B d y + C d z

em todo $D$ .^[7] Isto é equivalente a dizer que o campo vetorial $(A, B, C)$ é um campo vetorial conservativo, com correspondente potencial $Q$ .^[8]^[9]

Relações diferenciais parciais

Se três variáveis, $x$ , $y$ e $z$ estão ligadas pela condição $F (x, y, z) = constant$ para alguma função diferencial $F (x, y, z)$ , então existem os seguintes diferenciais totais^[10]:

$d x = {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} d y + {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} d z$

$d z = {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} d x + {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} d y .$

Substituindo a primeira equação pela segunda e reordenando, obtemos:

$d z = {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} [{(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} d y + {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} d z] + {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} d y,$

$d z = [{(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x}] d y + {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} d z,$

$[1 - {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y}] d z = [{(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x}] d y .$

Como $y$ e $z$ são variáveis independentes, $d y$ e $d z$ podem ser escolhidos sem restrições. Para que esta última equação se mantenha em geral, os termos entre parênteses devem ser iguais a zero.

Relação de reciprocidade

Estabelecendo o primeiro termo entre parênteses igual a zero:

${(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y} = 1 .$

Um leve rearranjo dá uma relação de reciprocidade:

${(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} = \frac{1}{{(\frac{\partial x}{\partial z})}_{y}} .$

Há mais duas permutações da derivação anterior que dão um total de três relações de reciprocidade entre o estilo x, y e z. As relações de reciprocidade mostram que o inverso de uma derivada parcial é igual a sua recíproca.

Relação cíclica

A relação cíclica também é conhecida como a regra cíclica ou a regra do produto triplo. Definindo o segundo termo entre parênteses igual a zero rendimentos:

${(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} = - {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} .$

O uso de uma relação de reciprocidade para o estilo de jogo z parcial y parcial frac nesta equação e reordenação dá uma relação cíclica (a regra do produto triplo):

${(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} {(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} = - 1 .$

Se, em vez disso, for utilizada uma relação de reciprocidade para $\frac{\partial x}{\partial y}$ com posterior rearranjo, é obtido um formulário padrão para diferenciação implícita: ${(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} = - \frac{{(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y}}{{(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x}} .$

Algumas equações úteis derivadas de diferenciais exatos em duas dimensões

(Veja também as equações termodinâmicas de Bridgman para o uso de diferenciais exatos na teoria das equações termodinâmicas)

Suponha que tenhamos cinco funções de estado $z, x, y, u$ e $v$ . Suponha que o espaço de estados seja bidimensional e que qualquer uma das cinco quantidades seja exatamente diferencial. Então, pela regra da cadeia

$(1) d z = {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} d x + {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} d y = {(\frac{\partial z}{\partial u})}_{v} d u + {(\frac{\partial z}{\partial v})}_{u} d v$

mas também pela regra da cadeia:

$(2) d x = {(\frac{\partial x}{\partial u})}_{v} d u + {(\frac{\partial x}{\partial v})}_{u} d v$

e

$(3) d y = {(\frac{\partial y}{\partial u})}_{v} d u + {(\frac{\partial y}{\partial v})}_{u} d v$

para que:

$(4) d z = [{(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial u})}_{v} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} {(\frac{\partial y}{\partial u})}_{v}] d u$

$+ [{(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial v})}_{u} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} {(\frac{\partial y}{\partial v})}_{u}] d v$

o que implica que:

$(5) {(\frac{\partial z}{\partial u})}_{v} = {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial u})}_{v} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} {(\frac{\partial y}{\partial u})}_{v}$

Tomando $v = y$ temos:

$(6) {(\frac{\partial z}{\partial u})}_{y} = {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial u})}_{y}$

Tomando $u = y$ temos:

$(7) {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{v} = {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} + {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{v}$

Tomando $u = y, v = z$ temos:

$(8) {(\frac{\partial z}{\partial y})}_{x} = - {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z}$

usando $(\partial a / \partial b)_{c} = 1 / (\partial b / \partial a)_{c}$ dá a regra do produto triplo:

$(9) {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} {(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} = - 1$

Predefinição:Referências

Predefinição:Esboço-matemática Predefinição:Portal3

↑ OS CONCEITOS DE INFINITESIMAL E DIFERENCIAL NAS REGRAS DE DERIVAÇÃO DE LEIBNIZ por Raquel Anna Sapunaru, Bárbara Emanuella Souza, Débora Pelli, Douglas Frederico Guimarães Santiago publicado pela REVISTA DE ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA (REnCiMa), v.4, n.2, p. 1-15, 2013 em 7/8/2013 [[1]]
↑ Diferenciais inexatas e o fator integrante por A C Tort em 2 de outubro de 2012 http://www.if.ufrj.br/~pef/aulas_seminarios/notas_de_aula/tort_2012_2/EqsDifparte3.pdf
↑ Exact Differential publicado em MathWorld [[2]]
↑ Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
↑ Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.
↑ PARTE III. Formas Diferenciais - 13. Formas Diferenciais e Campos Tensoriais por Rui Loja Fernandes no Outono 2003 publicado pelo Instituto Superior Técnico de Lisboa
↑ Weistein, Eric W., http://mathworld.wolfram.com/Differentialk-Form.html Differential form no MathWorld
↑ Predefinição:Citar livro
↑ Predefinição:Citar livro
↑ Predefinição:Citar livro

[1] OS CONCEITOS DE INFINITESIMAL E DIFERENCIAL NAS REGRAS DE DERIVAÇÃO DE LEIBNIZ por Raquel Anna Sapunaru, Bárbara Emanuella Souza, Débora Pelli, Douglas Frederico Guimarães Santiago publicado pela REVISTA DE ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA (REnCiMa), v.4, n.2, p. 1-15, 2013 em 7/8/2013 [[1]]

[2] Diferenciais inexatas e o fator integrante por A C Tort em 2 de outubro de 2012 http://www.if.ufrj.br/~pef/aulas_seminarios/notas_de_aula/tort_2012_2/EqsDifparte3.pdf

[3] Exact Differential publicado em MathWorld [[2]]

[4] Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.

[5] Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.

[6] PARTE III. Formas Diferenciais - 13. Formas Diferenciais e Campos Tensoriais por Rui Loja Fernandes no Outono 2003 publicado pelo Instituto Superior Técnico de Lisboa

[7] Weistein, Eric W., http://mathworld.wolfram.com/Differentialk-Form.html Differential form no MathWorld

[8] Predefinição:Citar livro

[9] Predefinição:Citar livro

[10] Predefinição:Citar livro

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Diferencial exato

Índice

Interpretação

Relações diferenciais parciais

Relação de reciprocidade

Relação cíclica

Algumas equações úteis derivadas de diferenciais exatos em duas dimensões

Menu de navegação

Diferencial exato

Interpretação

Relações diferenciais parciais

Relação de reciprocidade

Relação cíclica

Algumas equações úteis derivadas de diferenciais exatos em duas dimensões

Menu de navegação

Pesquisa