Equação do sexto grau

Gráfico de uma função de sexto grau.

Equações monovariáveis do sexto grau são equações que podem ser expressas na forma $a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3+e{x}^2+fx+g=0$, onde $x$ é a incógnita, $a;b;c;d;e;f$ e $g$ são coeficientes e $a\ne 0,$ pois no contrário a equação teria grau 5.

• Exemplo:

1. $x^6+4x^5-58x^4-148x^3+813x^2+144x-756=0,$ cujas raízes são: $x_{1,2}=\pm 1,x_{3,4}=\pm 6,x_5=3$ e $x_6=-7$
2. $x^6-3x^4+3x^2-1=0,$ cujas raízes são: $x_{1,2,3}=1$ e $x_{4,5,6}=-1$
3. $28x^6+89x^5-408x^4-616x^3+790x^2+207x-90=0,$ cujas raízes são: $x_1=3,x_2=1,x_3=\frac{1}{4},x_4=-\frac{3}{7},x_5=-2$ e $x_6=-5$

Toda equação do sexto grau possui exatamente 6 soluções(ou raízes), quer reais, quer complexas.

Pelo teorema de Abel-Ruffini, equações de grau superior a 5 não podem ser, em maioria, resolvidas por radicais, porém existem exceções.

Equação Triquadrática

A equação triquadrática é um exemplo de equação de sexto grau solúvel por radicais, que é expressa na forma:

$a{x}^6+d{x}^3+g=0$

que pode ser resolvida utilizando a substituição $x=\sqrt[3]{y}$, resultando na equação quadrática $a{y}^2+dy+g,$ cujas raízes são expressas por $y=\frac{-d\pm \sqrt{d^2-4ag}}{2a},$ onde as raízes de $x$ podem ser descobertas de duas maneiras:

Primeiro método: descobrem-se as duas raízes $y_1$ e $y_2$, tira-se as raízes cúbicas simples e tem-se $x_1$ e $x_2,$ divide-se o polinômio por $x-x_1$ e $x-x_2$: $\frac{a{x}^6+d{x}^3+g}{(x-x_1)\cdot (x-x_2)}$ e obtém-se uma equação quártica, da qual pode-se extrair as últimas 4 raízes.

Segundo método: Após descobrir $y_1$ e $y_2$, retira-se as 3 raízes cúbicas de $y_1$ e as 3 raízes cúbicas de $y_2$, logo tem-se as 6 raízes de $x$.

• Exemplo:

1. $x^6+4x^3+1=0,$ primeiro se utiliza a fórmula $x=\sqrt[3]{y},$ logo se tem: $y^2+4y+1=0,$ onde as raízes de $y$ são dadas por: $y=\frac{-4\pm \sqrt{(4{)}^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1},$ que simplificando chegamos em $y=-2\pm \sqrt{3}$, então $x^6+4x^3+1=0$ possui as raízes $x_{1,2,3}=\sqrt[3]{-2+\sqrt{3}}$ e $x_{4,5,6}=\sqrt[3]{-2-\sqrt{3}}$

Equação Bicúbica

A equação bicúbica é uma equação de sexto grau no formato $a{x}^6+c{x}^4+e{x}^2+g=0$ e pode-se usar a substituição de $x=\sqrt{y},$ onde a equação se transforma em $a{y}^3+c{y}^2+ey+g=0,$ que é uma cúbica resolvente, onde após achadas as raízes, pode-se tirar suas raízes quadradas tal que: $x_{1,2}=\pm \sqrt{y_1},x_{3,4}=\pm \sqrt{y_2}$ e $x_{5,6}=\pm \sqrt{y_3}.$

• Exemplo: $x^6-14x^4+49x^2-36=0,$ utiliza-se a substituição $x=\sqrt{y},$ que transforma a equação em $y^3-14y^2+49y-36=0,$ pela variação de sinais percebe-se que $y$ possui raízes positivas, pelo teorema das raízes racionais, há haver raízes inteiras, estas apenas poderão ser $\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 9,\pm 18$ e $\pm 36.$ Com a substituição, tem-se que apenas $1,4$ e $9$ são soluções de $y.$ Com isso temos que $x=\pm \sqrt{y},$ logo a equação $x^6-14x^4+49x^2-36=0$ possui as raízes $x_{1,2}=\pm 1,x_{3,4}=\pm 2$ e $x_{5,6}=\pm 3.$