Fator automórfico

Em matemática, um fator automórfico é um certo tipo de função analítica, definida sobre subgrupos de SL₂(R), aparecendo na teoria de formas modulares. O caso geral, para grupos gerais, é apresentado no artigo 'fator de automorfia'.

Definição

Um fator automórfico de peso k é uma função

$\nu :\mathrm{\Gamma }\times ℍ\to ℂ$

satisfazendo as quatro propriedades dadas abaixo. Aqui, a notação $ℍ$ e $ℂ$ refere-se ao meio plano superior e ao plano complexo, respectivamente. A notação $\mathrm{\Gamma }$ é um subgrupo de SL(2,R), tal como, por exemplo, um grupo fuchsiano. Um elemento $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ é uma matriz 2x2

$\gamma =\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

com $a,b,c,d$ números reais, satisfazendo $ad-bc=1$.

Um fator automórfico deve satisfazer:

1. Para um determinado $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$, a função $\nu (\gamma ,z)$ é uma função holomorfa de $z\in ℍ$.

2. Para todo $z\in ℍ$ e $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$, tem-se

$|\nu (\gamma ,z)|=|cz+d{|}^k$

para um determinado número real k.

3. Para todo $z\in ℍ$ e $\gamma ,\delta \in \mathrm{\Gamma }$, tem-se

$\nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)$

Aqui, $\delta z$ é a transformação de Möbius, ou transformação linear fracional de $z$ por $\delta$.

4.Se $-I\in \mathrm{\Gamma }$, então para todo $z\in ℍ$ e $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$, tem-se

$\nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)$

Aqui, I denota a matriz identidade.

Propriedades

Cada fator automórfico pode ser escrito como

$\nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d{)}^k$

com

$|\upsilon (\gamma )|=1$

A função $\upsilon :\mathrm{\Gamma }\to S^1$ é chamada um sistema multiplicador. Claramente,

$\upsilon (I)=1$,

enquanto, se $-I\in \mathrm{\Gamma }$, então

$\upsilon (-I)=e^{-i\pi k}$

Desenvolvimentos

São estudados fatores automórficos de grau n de variedade complexa ou de uma superfície de Riemann compacta.

Referências

• Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (O capítulo 3 é inteiramente dedicado a fatores automórficos para o grupo modular.)