Forma-um

Em álgebra linear, forma-um (ou 1-forma) em um vetor de espaço é o mesmo que uma forma linear no espaço. O uso da forma-um nesse contexto geralmente distingue as formas-um de funcionais multilineares de grau superior no espaço.

Em geometria diferencial, uma forma-um na variedade diferenciável é uma seção suave do fibrado cotangente. Equivalentemente, uma forma-um sobre uma variedade M é um mapeamento suave do espaço total do feixe de fibras de M para $ℝ$ cuja restrição para cada fibra é uma forma linear sobre o espaço tangente. Simbolicamente segue que:

$\alpha :TM\to ℝ,{\alpha }_x=\alpha {|}_{T_{x}M}:T_{x}M\to ℝ$

onde α_x é linear.

Muitas vezes, formas-um são descritas localmente, particularmente em coordenadas locais. Em um sistema de coordenadas local, uma forma-um é uma combinação linear dos diferenciais das coordenadas:

${\alpha }_x=f_1(x)d{x}_1+f_2(x)d{x}_2+\cdots +f_n(x)d{x}_n$

onde os f_i são funções suaves. Sob essa perspectiva, uma forma-um tem uma lei de transformação covariante na passagem de um sistema de coordenadas para outro. Assim, forma-se um campo tensor covariante de ordem 1.

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