Função hiperbólica inversa

Gráficos da função hiperbólica inversa quanto às funções trigonométricas inversas.

Na matemática, a função hiperbólica inversa fornece um ângulo hiperbólico correspondente a um determinado valor da função hiperbólica. A magnitude do ângulo hiperbólico é equivalente à área do setor hiperbólico da hipérbole unitária Predefinição:Nowrap, ou o dobro da área correspondente ao setor da unidade Predefinição:Nowrap, assim como um ângulo circular é o dobro da área do setor circular de um círculo unitário.

Quanto à nomenclatura, as abreviaturas preferenciais são arsinh, arcosh e assim por diante, sendo estas representantes das funções trigonométricas inversas. Em outros campos, tal como a ciência da computação, a abreviação é feita pelo prefixo asinh e ainda pode ser válido as notações Predefinição:Nowrap, Predefinição:Nowrap, entre outras.

Representação logarítmica

Arco seno hiperbólico

$\mathrm{arsinh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

O domínio é o conjunto de números reais.

Demonstração:

$x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}⟺2x{e}^y=(e^y{)}^2-1$

Se $z=e^y,y=\ln (z)$ então $2xz=z^2-1⟺z^2-2xz-1=0$

$z_{1,2}=\frac{2x\pm \sqrt{4x^2+4}}{2}=x\pm \sqrt{x^2+1}⟺y_{1,2}=\ln (x\pm \sqrt{x^2+1})$

Como $x-\sqrt{x^2+1}<0$, a única solução será $\ln (x+\sqrt{x^2+1})$.

Arco cosseno hiperbólico

$\mathrm{arcosh}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$

O domínio é o intervalo fechado Predefinição:Math.

Demonstração:

$x=\frac{e^y+e^{-y}}{2}<==>2x{e}^y=(e^y{)}^2+1$

Se $z=e^y,y=\ln (z)$ então $2xz=z^2+1<==>z^2-2xz+1=0<==>$

$z_{1,2}=\frac{2x\pm \sqrt{4x^2-4}}{2}=x\pm \sqrt{x^2-1}<==>y_{1,2}=\ln (x\pm \sqrt{x^2-1})$

Como $x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}$ a solução será $\pm \ln (x+\sqrt{x^2-1})$. Após uniformização, temos $\ln (x+\sqrt{x^2-1})$

Arco tangente hiperbólica

$\mathrm{artanh}x=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

O domínio é o intervalo aberto Predefinição:Math.

Arco cotangente hiperbólica

$\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

O domínio é a união dos intervalos Predefinição:Math e Predefinição:Math.

Arco cossecante hiperbólica

$\mathrm{arcsch}x=\ln (\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1})=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$

O domínio é o conjunto dos números reais excluindo o 0.

Arco secante hiperbólica

$\mathrm{arsech}x=\ln (\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1})=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$

O domínio é o intervalo semiaberto Predefinição:Math.

Note que devemos considerar o valor principal das raízes quadradas e da função logarítmica citadas acima. No caso de argumentos reais (z = x, onde x é real), algumas simplificações podem ser feitas, como por exemplo, $\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1}$ e $\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1-x\right)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ .

Fórmulas aditivas

$\mathrm{arsinh}u\pm \mathrm{arsinh}v=\mathrm{arsinh}(u\sqrt{1+v^2}\pm v\sqrt{1+u^2})$

$\mathrm{arcosh}u\pm \mathrm{arcosh}v=\mathrm{arcosh}(uv\pm \sqrt{(u^2-1)(v^2-1)})$

$\mathrm{artanh}u\pm \mathrm{artanh}v=\mathrm{artanh}\left(\frac{u\pm v}{1\pm uv}\right)$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsinh}u+\mathrm{arcosh}v& =\mathrm{arsinh}(uv+\sqrt{(1+u^2)(v^2-1)})\\ & =\mathrm{arcosh}(v\sqrt{1+u^2}+u\sqrt{v^2-1})\end{array}$

Outras identidades

$\begin{array}{ccc}2\mathrm{arcosh}x& =\mathrm{arcosh}(2x^2-1)& \text{ para }x\ge 1\\ 4\mathrm{arcosh}x& =\mathrm{arcosh}(8x^4-8x^2+1)& \text{ para }x\ge 1\\ 2\mathrm{arsinh}x& =\mathrm{arcosh}(2x^2+1)& \text{ para }x\ge 0\\ 4\mathrm{arsinh}x& =\mathrm{arcosh}(8x^4+8x^2+1)& \text{ para }x\ge 0\end{array}$

$\ln (x)=\mathrm{arcosh}\left(\frac{x^2+1}{2x}\right)=\mathrm{arsinh}\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)=\mathrm{artanh}\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)$

Derivadas das funções hiperbólicas inversas

Derivada de arco seno hiperbólico

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsinh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

Derivada de arco cosseno hiperbólico

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$, se $1<x$

Derivada de arco tangente hiperbólico

$\frac{d}{dx}\mathrm{artanh}x=\frac{1}{1-x^2}$, se $-1<x<1$

Derivada de arco cotangente hiperbólico

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{1-x^2}$, se $\left|x\right|>1$

Derivada de arco secante hiperbólico

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$, se $0<x<1$

Derivada de arco cossecante hiperbólico

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$, se $x=0$

Expansões em série

Expansão em série de arco seno hiperbólico:

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsinh}x& =x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^7}{7}\pm \cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\left|x\right|<1\end{array}$

Expansão em série de arco cosseno hiperbólico:

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcosh}x& =\ln (2x)-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\cdots )\\ & =\ln (2x)-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},x>1\end{array}$

Expansão em série de arco tangente hiperbólico:

$\begin{array}{cc}\mathrm{artanh}x& =x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\left|x\right|<1\end{array}$

Expansão em série de arco cossecante hiperbólico:

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcsch}x=\mathrm{arsinh}\frac{1}{x}& =x^{-1}-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-5}}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-7}}{7}\pm \cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-(2n+1)}}{2n+1},\left|x\right|>1\end{array}$

Expansão em série de arco secante hiperbólico:

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsech}x=\mathrm{arcosh}\frac{1}{x}& =\ln \frac{2}{x}-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^2}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^4}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^6}{6}+\cdots )\\ & =\ln \frac{2}{x}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n}}{2n},0<x\le 1\end{array}$

Expansão em série de arco cotangente hiperbólico:

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcoth}x=\mathrm{artanh}\frac{1}{x}& =x^{-1}+\frac{x^{-3}}{3}+\frac{x^{-5}}{5}+\frac{x^{-7}}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-(2n+1)}}{2n+1},\left|x\right|>1\end{array}$

Ligações externas

• Predefinição:Springer