Grupo trivial

Em matemática, um grupo trivial, grupo identidade ou grupo zero é um grupo que contém um único elemento. Todos esses grupos são isomorfos, por isso frequentemente se fala do grupo trivial. O único elemento do grupo trivial é o elemento identidade e geralmente é denotado como: 0, 1 ou $e$, dependendo do contexto — isto é, da representação. Se a operação do grupo é denotada por $\cdot$, então ela é definida por $e\cdot e=e$.

O grupo trivial é o único grupo (considerando isomorfismos) contendo exatamente um elemento $e$, o elemento identidade. Exemplos incluem o grupo zero (que é o conjunto unitário $\{0\}$ com respeito à estrutura do grupo trivial definida pela adição $0+0=0$), o grupo multiplicativo $\{1\}$ (onde $1\cdot 1=1$), o grupo pontual $C_1$ e os inteiros módulo 1 sob adição. Quando visto como um grupo de permutação em $p$ letras, o grupo trivial $E_p$ consiste num único elemento que fixa cada letra.

O monóide trivial, definido de forma semelhante, também é um grupo, pois seu único elemento é seu próprio inverso, sendo, portanto, o mesmo que o grupo trivial.

O grupo trivial é abeliano e cíclico. A tabela de multiplicação para $⟨e⟩$ é dada abaixo:

$\begin{array}{cc}⟨e⟩& 1\\ 1& 1\end{array}$

O grupo trivial tem a única classe de conjugação $\{1\}$ e o único subgrupo $\{1\}$.

O grupo trivial é distinto do conjunto vazio, que não tem elementos, portanto, carece de um elemento identidade, e por isso não pode ser um grupo.

Definições

Dado qualquer grupo $G$, o grupo consistindo apenas do elemento identidade é um subgrupo de $G$ e, sendo o grupo trivial, é chamado de subgrupo trivial de $G$.

O termo "$G$ não tem subgrupos próprios não triviais" refere-se ao fato de os únicos subgrupos de $G$ serem o grupo trivial $\{e\}$ e o próprio grupo $G$.

Propriedades

O grupo trivial é cíclico de ordem 1; como tal, pode ser denotado ${\mathrm{Z}}_1$ ou ${\mathrm{C}}_1$. Se a operação do grupo é chamada de adição, o grupo trivial geralmente é denotado por 0. Se a operação do grupo é chamada de multiplicação, então 1 pode ser uma notação para o grupo trivial. A combinação dessas operações leva ao anel trivial, no qual as operações de adição e multiplicação são idênticas e $0=1$.

O grupo trivial serve como o objeto zero na categoria de grupos, o que significa que é tanto um objeto inicial quanto um objeto terminal.

O grupo trivial pode ser transformado em um grupo (bi-)ordenado ao equipá-lo com a ordem não estrita trivial $\le$.