Identidade trigonométrica fundamental

Predefinição:Mais fontesPredefinição:Trigonometria A identidade trigonométrica fundamental é uma identidade trigonométrica que expressa o teorema de Pitágoras em termos de funções trigonométricas. Junto com a fórmula da soma dos ângulos é a relação básica entre as funções seno e cosseno a partir das quais todas as outras podem ser derivadas.

Enunciado da identidade

Matematicamente, a identidade trigonométrica fundamental diz:

${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1.(1)$

(Note que Predefinição:Nowrap significa Predefinição:Nowrap.)

As identidades

$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$

e

$1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$

são os seus principais corolários e são facilmente obtidos usando álgebra elementar, a saber, dividindo-se ambos os membros da identidade trigonométrica fundamental por Predefinição:Nowrap e por Predefinição:Nowrap, respectivamente. Assim como (1), também possuem interpretações geométricas simples do teorema de Pitágoras.

Provas e sua relação com o Teorema de Pitágoras

Usando triângulos-retângulos

Usando a "definição" elementar das funções trigonométricas em termos dos lados de um triângulo retângulo,

$\cos x=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{a}}$

$\mathrm{sen}x=\frac{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}}{\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{a}}$

o teorema segue elevando-se ambos membros das identidades ao quadrado e depois somando-as; o membro esquerdo então fica

$\frac{{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}}^2+{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}}^2}{{\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{a}}^2}$

que pelo teorema de Pitágoras é igual a 1. Note, no entanto, que esta definição é apenas válida para ângulos entre 0 e ½π radianos (exclusive) e portanto esse argumento não prova e identidade para um ângulo qualquer. Os valores de 0 e ½π são provados trivialmente através do cálculo de seno e cosseno nesses ângulos.

Para completar a prova, as identidades encontradas em periodicidade, simetria e translações trigonométricas devem ser empregadas. Pelas identidades de periodicidade podemos dizer que se a fórmula é verdadeira para -π < x ≤ π então é verdadeira para todo x real. A seguir provamos o intervalo ½π < x ≤ π e para fazer isso tomamos t = x - ½π, que estará no intervalo 0 < x ≤ ½π. Podemos então fazer uso de versões elevadas ao quadrado de algumas identidades básicas de transformação (elevar ao quadrado convenientemente elimina os sinais de menos).

${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x\equiv {\mathrm{sen}}^2(t+\frac{1}{2}\pi )-{\cos }^2(t+\frac{1}{2}\pi )\equiv {\cos }^{2}t+{\mathrm{sen}}^{2}t\equiv 1.$

Tudo o que falta é provar a identidade para −π < x < 0; isso pode ser feito elevando-se as identidades de simetria para obter

${\mathrm{sen}}^{2}x\equiv {\mathrm{sen}}^2(-x)\text{ e }{\cos }^{2}x\equiv {\cos }^2(-x).$

Usando o círculo unitário

Se as funções trigonométricas são definidas em termos do círculo unitário, a prova é imediata: dado um ângulo θ, há um único ponto P no círculo unitário centrado na origem no plano euclidiano em um ângulo θ do eixo-x, e Predefinição:Nowrap, Predefinição:Nowrap são respectivamente as coordenadas x e y do ponto P. Pela definição do círculo unitário, a soma dos quadrados dessas coordenadas é igual a 1, daí a identidade.

A relação com o teorema de Pitágoras deve-se ao fato do círculo unitário ser definido pela equação

$x^2+y^2=1.$

Uma vez que os eixos x e y são perpendiculares entre si, esse fato é ainda equivalente ao teorema de Pitágoras para triângulos de hipotenusa 1.

Usando séries de potências

As funções trigonométricas também podem ser definidas usando séries de potências, para x em radianos:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}$

Usando a lei formal de multiplicação para séries de potências modificada aqui para servir à forma das séries aqui, obtemos

${\sin }^{2}x$	$=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{(2i+1)!}\frac{(-1{)}^j}{(2j+1)!}{x}^{(2i+1)+(2j+1)}$
	$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}\right)x^{2n}$
	$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2i+1})\right)\frac{(-1{)}^{n-1}}{(2n)!}{x}^{2n}$

${\cos }^{2}x$	$=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{(2i)!}\frac{(-1{)}^j}{(2j)!}{x}^{(2i)+(2j)}$
	$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=0}^n\frac{(-1{)}^n}{(2i)!(2(n-i))!}\right)x^{2n}$
	$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2i})\right)\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}$

Note que na expressão para ${\sin }^2$, n deve ser pelo menos 1, enquanto que na expressão para ${\cos }^2$, o termo constante é igual a 1. Os termos remanescentes da soma são (com fatores comuns removidos)

$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2i})-\sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2i+1})=\sum _{j=0}^{2n}(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{j})=(1-1{)}^{2n}=0$

pelo teorema binomial. O teorema de Pitágoras não está proximamente relacionado à identidade trigonomátrica fundamental quando as funções trigonométricas são definidas desta forma; ao invés disso, em combinação com o teorema, a identidade agora mostra que essa série de potências parametriza o círculo unitário, que usamos na seção anterior. Note que esta definição na verdade constrói as funções seno e cosseno de uma forma bastante rigorosa e prova que elas são diferenciáveis, de forma que ela inclui as duas anteriores.

Usando a equação diferencial

É possível definir as funções seno e cosseno com duas soluções únicas para a equação diferencial

$y^{″}+y=0$

satisfazendo respectivamente $y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$ e $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$. Segue da teoria das equações diferenciais ordinárias que a primeira solução mostrada, o seno, tem a última, cos, como sua derivada, e disso segue que a derivada de cos é −sin. Para provar a identidade trigonométrica fundamental é suficiente mostrar que a função

$z={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$

é constante e igual a 1. No entanto, ao diferenciá-la e ao aplicar os dois fatos que acabamos de mencionar vemos que $z^{\prime }=0$ então z é constante e $z(0)=1$.

Essa forma da identidade também não tem conexão direta com o teorema de Pitágoras.

Ver também

• Teorema de Pitágoras
• Identidade trigonométrica
• Círculo unitário
• Série de potências
• Equação diferencial