Integração por substituição

Predefinição:Cálculo Em cálculo, integração por substituição, também conhecido como substituição u ou mudança de variáveis, é um método para calcular integrais e antiderivadas. É a contraparte da regra da cadeia para derivadas, e pode ser vagamente considerada como o uso da regra da cadeia "para trás".

Substituição para uma única variável

Introdução

Antes de estabelecer o resultado rigorosamente, consideremos um caso simples usando integral indefinida.

Calcular $\int (2x^3+1{)}^7(x^2)dx$.

Definir $u=2x^3+1$. Isto significa que $\frac{du}{dx}=6x^2$, ou, na forma diferencial $du=6x^{2}dx$. Assim

$\int (2x^3+1{)}^7(x^2)dx=\frac{1}{6}\int \underset{u^7}{\underbrace{(2x^3+1{)}^7}}\underset{du}{\underbrace{(6x^2)dx}}=\frac{1}{6}\int u^{7}du=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}{u}^8\right)+C=\frac{1}{48}(2x^3+1{)}^8+C$,

onde $C$ é uma constante arbitrária de integração.

Este procedimento é usado frequentemente, porém nem todas as integrais são de uma forma que permita seu uso. De qualquer forma, o resultado deve ser verificado mediante derivação e comparação com o integrando original.

$\frac{d}{dx}[\frac{1}{48}(2x^3+1{)}^8+C]=\frac{1}{6}(2x^3+1{)}^7(6x^2)=(2x^3+1{)}^7(x^2).$

Para integrais definidas os limites de integração também devem ser ajustados, mas o procedimento é basicamente o mesmo.

Integrais definidas

Seja Predefinição:Math uma função diferenciável com derivada contínua, onde Predefinição:Math é um intervalo. Suponha que Predefinição:Math é uma função contínua. Então

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(u)du.$

Na notação de Leibniz, a substituição Predefinição:Math fornece

$\frac{du}{dx}={\phi }^{\prime }(x).$

Trabalhando euristicamente com infinitesimais resulta a equação

$du={\phi }^{\prime }(x)dx,$

que sugere a fórmula de substituição acima. (Esta equação pode ser colocada em uma base rigorosa interpretando-a como uma afirmação sobre formas diferenciais.) Pode-se ver o método de integração por substituição como uma justificativa parcial da notação de Leibniz para integrais e derivadas.

A fórmula é usada para transformar uma integral em outra integral que seja mais fácil de calcular. Assim, a fórmula pode ser lida da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda para simplificar uma dada integral. Quando usada da maneira anterior, às vezes é conhecido como substituição u ou substituição w, em que uma nova variável é definida como uma função da variável original encontrada dentro da função composta multiplicada pela derivada da função interna. A última maneira é comumente usada na substituição trigonométrica, substituindo a variável original por uma função trigonométrica de uma nova variável e o diferencial original pelo diferencial da função trigonométrica.

Prova

A integração por substituição pode ser demonstrada a partir do teorema fundamental do cálculo como segue. Sejam Predefinição:Math e Predefinição:Math duas funções satisfazendo as hipóteses acima de que Predefinição:Math é contínua sobre Predefinição:Math e Predefinição:Math é integrável sobre o intervalo fechado Predefinição:Math. Então a função Predefinição:Math é também integrável sobre Predefinição:Math. Portanto as integrais

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx$

e

$\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(u)du$

existem de fato, e resta mostrar que as mesmas são iguais.

Como Predefinição:Math é contínua, a mesma possui a antiderivada Predefinição:Math. A função composta Predefinição:Math é então definida. Dado que Predefinição:Math é diferenciável, combinando a regra da cadeia e a definição de uma antiderivada resulta

$(F\circ \phi {)}^{\prime }(x)=F^{\prime }(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)=f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x).$

Aplicando o teorema fundamental do cálculo duas vezes resulta

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}(F\circ \phi {)}^{\prime }(x)dx\\ & =(F\circ \phi )(b)-(F\circ \phi )(a)\\ & =F(\phi (b))-F(\phi (a))\\ & =\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(u)du,\end{array}$

que é a regra da substituição.

Exemplos

Exemplo 1

Considere a integral

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx.$

Faça a substituição $u=x^2+1$ para obter $du=2xdx$, significando $xdx=\frac{1}{2}du$. Portanto,

$\begin{array}{cc}\underset{x=0}{\overset{x=2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx& =\frac{1}{2}\underset{u=1}{\overset{u=5}{\int }}\cos (u)du\\ & =\frac{1}{2}(\mathrm{sen}(5)-\mathrm{sen}(1)).\end{array}$

Como o limite inferior $x=0$ foi substituído por $u=1$ e o limite superior $x=2$ por $2^2+1=5$, uma transformação de volta em termos de $x$ não é necessária.

Predefinição:Referências

Bibliografia

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Ligações externas

• Integration by substitution at Encyclopedia of Mathematics
• Area formula at Encyclopedia of Mathematics