Método delta

Em Inferência estatística, o Método Delta é uma técnica utilizada para aproximar um vetor aleatório através de uma expansão de Taylor. é um método simples, mas útil, para deduzir a distribuição assintótica de variáveis.

O Teorema do Limite Central pode ser considerado como um caso particular do Método Delta. Assim deve começar por familiarizar-se com este teorema.

O teorema do limite central afirma que a soma de um número suficientemente elevado de variáveis aleatórias identicamente distribuídas tem uma distribuição semelhante a uma distribuição Normal.

Verificadas certas condições, o Método Delta permite concluir que uma função (não apenas a soma) de um número suficientemente elevado de variáveis aleatórias também tem uma distribuição semelhante a uma distribuição Normal.

Enunciado formal do Método Delta

• Seja uma função contínua $g:D\subset {ℝ}^k\to {ℝ}^m$ definida num subconjunto de ${ℝ}^k$ chamado "D" e diferenciável no ponto $\mu$.
• Sejam Y_n vetores aleatórios que assumem valores no domínio da função g, tal que $E\left[Y_n\right]=\mu$
• Seja Y um vetor aleatório (no caso particular de esse vetor aleatório ter dimensão 1X1, teremos uma variável aleatória, mas aqui vamos apresentar o enunciado geral).
• Lembre-se que $\stackrel{d}{\to }$ designa uma convergência em distribuição.
• Suponha que $r_n[Y_n-\mu ]\stackrel{d}{\to }Y$ quando $r_n\to \mathrm{\infty }$.

Então ,

$r_n[g\left(Y_n\right)-g\left(\mu \right)]\stackrel{d}{\to }{g}^{\prime }\left(\mu \right)Y$

Caso particular: distribuição normal

Seja $Y_n$ uma sucessão de variáveis aleatórias tais que

$\sqrt{n}[Y_n-\mu ]\stackrel{d}{\to }N(0,{\sigma }^2),$.

onde ${\sigma }^2$ é a variância da distribuição Normal e $\mu$ é o valor esperado de $Y_n$. Estes valores têm de existir e serem finitos.

Considere também uma função "g" diferenciável em $\mu$.

• Método Delta de 1ª ordem: Considere o caso em que, para o valor especifico $\mu$, $g^{\prime }(\mu )\ne 0$.Então:

$\sqrt{n}[g(Y_n)-g(\mu )]\stackrel{d}{\to }N(0,{\sigma }^2[g^{\prime }(\mu ){]}^2)$

• Método delta de 2ª ordem: Considere agora o caso em que, para o valor especifico $\mu$, $g^{\prime }\left(\mu \right)=0$ mas que $g^{″}\left(\mu \right)\ne 0$. Então,

$\sqrt{n}[g(Y_n)-g(\mu )]\stackrel{d}{\to }{\sigma }^2\frac{g^{″}\left(\mu \right)}{2}{\chi }_1^2$, porque o quadrado de uma distribuição normal padrão é uma qui-quadrado ${\chi }_1^2$ .

• Método Delta de ordens superiores: Considere finalmente o caso em que a função g é "r" vezes derivável e que, para o valor especifico $\mu$, $g^{\prime }\left(\mu \right)=g^{″}\left(\mu \right)=...=g^{(r-1)}\left(\mu \right)=0$ mas que a r-ésima derivada $g^{(r)}\left(\mu \right)\ne 0$. Então,

${\left(\sqrt{n}\right)}^r[g(Y_n)-g(\mu )]\stackrel{d}{\to }{\sigma }^2\frac{g^{(r)}\left(\mu \right)}{r!}{Y}^r$

Exemplos

Exemplo 1

Do Teorema do Limite Central sabemos que $\sqrt{(}n)[{\bar{X}}_n-\mu ]\stackrel{d}{\to }N(0,{\sigma }^2)$.

Consideremos agora $g(x)=1/x$, sabemos que $g^{\prime }(x)=-1/x^2$ que para $\mathrm{\forall }x\in$ IR\{0} é diferente de 0.

Então estamos nas condições do Método Delta e podemos afirmar que $\sqrt{(}n)[g({\bar{X}}_n)-g(\mu )]\stackrel{d}{\to }N(0,{\sigma }^2[g^{\prime }(\mu ){]}^2)=\sqrt{(}n)[1/{\bar{X}}_n-1/\mu ]\stackrel{d}{\to }N(0,{\sigma }^2/{\mu }^4)$.

Nota:

$g^{\prime }(x)=(1/x{)}^{\prime }=-1/x^2$

$[g^{\prime }(x){]}^2=[-1/x^2{]}^2=1/x^4$

$[g^{\prime }(\mu ){]}^2=1/{\mu }^4$

Exemplo 2

Predefinição:Artigo principal Suponha $Y_1,Y_2,...,Y_n$ variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli (p). O parâmetro de interesse típico é $p=E\left[Y\right]$, a probabilidade de sucesso, mas outro parâmetro popular é $\left(p\right)/(1-p)$, que mede a chance. Por exemplo, se os dados representam os resultados de uma moeda viciada com p=2/3 para "cara", então a moeda tem chance 2:1 de mostrar o resultado "cara".

Vamos considerar a utilização de $\left(\hat{p}\right)/(1-\hat{p})$ como uma estimativa para $\left(p\right)/(1-p)$. Ou seja, vamos jogar a moeda "n" vezes, contar o número de caras e obter $\hat{p}=\left(\sum _{i=1}^N{Y}_i\right)/n$ a partir desta amostra de n observações, e utilizar este p estimado ($\hat{p}$) como estimativa para o verdadeiro parâmetro p. Nosso interesse, agora, é saber a variância de $\left(\hat{p}\right)/(1-\hat{p})$. O método delta permite obter uma resposta aproximada, já que uma resposta exata não é possível.

Vamos então definir a função $g(p)=\frac{p}{1-p}$. Portanto, $g^{\prime }(p)=\frac{1}{{(1-p)}^2}$.

Pelo método delta, teremos que:

$\begin{array}{ccc}Var\left(\frac{\hat{p}}{1-\hat{p}}\right)& \approx & {[g^{\prime }(p)]}^{2}Var\left(\hat{p}\right)\\ & \approx & {\left[\frac{1}{{(1-p)}^2}\right]}^2\frac{p(1-p)}{n}\end{array}$

Demonstração

Sabemos que $\sqrt{(}n)[Y_n-\mu ]\stackrel{d}{\to }N(0,{\sigma }^2)<=>\sqrt{(}n)[\frac{Y_n-\mu }{\sigma }]\stackrel{d}{\to }N(0,1)$

Sabemos também que $g^{\prime }(\mu )\ne 0$, existe e é finito.

O desenvolvimento em série de Taylor de $g(Y_n)$ em torno de valor $\mu$ é

$g(Y_n)=g(\mu )+g^{\prime }(\mu )[y_n-\mu ]+o_1<=>$

onde $o_1\to 0$ quando $Y_n\to \mu$

$g(Y_n)-g(\mu )=g^{\prime }(\mu )[Y_n-\mu ]+0_1<=>$

$g(Y_n)-g(\mu )=g^{\prime }(\mu )\sigma [\frac{Y_n-\mu }{\sigma }]+0_1<>$

$g(Y_n)-g(\mu )=g^{\prime }(\mu )\sigma [\frac{Y_n-\mu }{\sigma }]+0_1<=>$

$\sqrt{(}n)g(Y_n)-g(\mu )=g^{\prime }(\mu )\sigma \sqrt{(}n)[\frac{Y_n-\mu }{\sigma }]+0_1<=>$ usando o teorema de Slutsky

$\sqrt{(}n)g(Y_n)-g(\mu )=g^{\prime }(\mu )\sigma \sqrt{(}n)[\frac{Y_n-\mu }{\sigma }]+0_1\stackrel{d}{\to }N(0,{\sigma }^2[g^{\prime }(\mu ){]}^2)$

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$\sqrt{n}[g(Y_n)-g(\mu )]\stackrel{d}{\to }N(0,{\sigma }^2[g^{\prime }(\mu ){]}^2)$

Ver também

• Teorema do Limite Central