Ponte de Wien

Esquema de uma ponte de Wien: em verde o filtro e em azul o amplificador

Uma ponte de Wien é um oscilador eletrônico que gera ondas sinusoidais sem fonte de entrada.

História

A ponte de Wien foi desenvolvida originalmente por Max Wien em 1891. O circuito moderno é derivado da tese de mestrado de William Hewlett em 1939. Hewlett, com David Packard, co-fundou Hewlett-Packard. O primeiro produto da firma foi o HP 200A, um oscilador baseado na ponte de Wien. O 200A é um instrumento clássico conhecido pela baixa distorção do sinal de saída.

Modelagem

Esquema de um oscilador

Considere $v_i$ e $v_o$ as tensões de entrada e saída do amplificador e $I_o$ a corrente de saída do mesmo. Obtêm-se as seguintes equações para os nós do circuito:

• $I_o=\frac{v_i}{R_2}+C_2\frac{d{v}_i}{dt}(1)$
• $\frac{d}{dt}(v_o-v_i)=R_1\frac{d{I}_o}{dt}+\frac{I_o}{C_1}(2)$

Substituindo $(1)$ em $(2)$, tem-se:

• $\frac{d}{dt}(v_o-v_i)=R_1\frac{d}{dt}(\frac{v_i}{R_2}+C_2\frac{d{v}_i}{dt})+\frac{1}{C_1}(\frac{v_i}{R_2}+C_2\frac{d{v}_i}{dt})$

Que pode ser simplificado em

• $R_1{C}_2\frac{d^2{v}_i}{d{t}^2}+(1+\frac{R_1}{R_2}+\frac{C_2}{C_1})\frac{d{v}_i}{dt}+\left(\frac{1}{C_1{R}_2}\right)v_i-\frac{d{v}_o}{dt}=0$

ou, equivalentemente:

• $\frac{d^2{v}_i}{d{t}^2}+\left(\frac{R_1{C}_1+R_2{C}_1+R_2{C}_2}{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}\right)\frac{d{v}_i}{dt}+\left(\frac{1}{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}\right)v_i-\frac{1}{R_1{C}_2}\frac{d{v}_o}{dt}=0(3)$

Solução

Caso linear

Quando a relação entre $v_i$ e $v_o$ é linear, ou seja:

$v_0=k{v}_i$

para alguma constante $K$, $(3)$ recai em:

• $\frac{d^2{v}_i}{d{t}^2}+\left(\frac{R_1{C}_1+R_2{C}_1+R_2{C}_2-k{R}_2{C}_1}{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}\right)\frac{d{v}_i}{dt}+\left(\frac{1}{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}\right)v_i=0$

Esta é uma Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Define-se o fator de amortecimento, a freqüência natural de oscilação e ganho crítico:

• $\alpha :=\frac{R_1{C}_1+R_2{C}_1+R_2{C}_2-k{R}_2{C}_1}{2{\left(R_1{R}_2{C}_1{C}_2\right)}^{1/2}}{w}_0=\frac{1}{{\left(R_1{R}_2{C}_1{C}_2\right)}^{1/2}}{k}_c=\frac{R_1{C}_1+R_2{C}_1+R_2{C}_2}{R_2{C}_1}$

Nestes termos, a equação se escreve:

• $\frac{d^2{v}_i}{d{t}^2}+2\alpha w_0\frac{d{v}_i}{dt}+w_0^2{v}_i=0$

A solução geral desta equação é dada por:

• $v_i:=C_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$

onde ${\lambda }_1$ e ${\lambda }_2$ são as raízes da equação do segundo grau:

• ${\lambda }^2+2\alpha w_0\lambda +w_0^2=0$

Assim, temos:

• ${\lambda }_{1,2}=(-\alpha \pm \sqrt{{\alpha }^2-1})w_0$

Os autovalores ${\lambda }_{1,2}$ possuem parte imaginária não nula quando $|\alpha |<1$, neste caso a solução geral é dada por:

• $v_i:=A_1{e}^{\sigma t}\sin (wt)+A_2{e}^{\sigma t}\cos (wt)$

onde: $\sigma =-w_0\alpha w=w_0\sqrt{1-{\alpha }^2}$

Observam-se aqui três casos distintos:

• Fator de amortecimento positivo $(k>k_c\Rightarrow \alpha >0\Rightarrow \sigma <0)$: o sistema apresenta oscilações cujas amplitudes crescem exponencialmente com tempo.
• Fator de amortecimento negativo $(k<k_c\Rightarrow \alpha <0\Rightarrow \sigma >0)$: o sistema apresenta oscilações cujas amplitudes decaem exponencialmente com tempo.
• Fator de amortecimento nulo $(k=k_c\Rightarrow \alpha =\sigma =0)$: o sistema apresenta oscilações com amplitude constante.

Caso não linear

Oscilador com amplificador não linear.

Na prática, torna-se impossível construir um oscilador com fator de amortecimento exatamente igual a zero. Daí a necessidade de construir circuitos não lineares que controlem a amplitude de saída. As duas técnicas de controle mais utilizadas na prática são:

• Controlar o ganho $k$ do amplificador, de forma que $k$ aumente quando as amplitudes forem inferiores à desejada e diminua quando as amplitudes ultrapassarem o valor desejado. Este técnica é chamada de controle automático de ganho.
• Construir um amplificador não-linear (conformador) de forma que a relação entre $v_i$ e $v_o$ seja dada por uma relação da forma:
  • $v_o=f(v_i)$

Onde $f$ é tipicamente uma função ímpar tal que:

• $\frac{df(v_i)}{d{v}_i}>k_c,v_i=0$
• $\frac{d^{2}f(v_i)}{d^2{v}_i}<0,\text{em torno de }{v}_i=0$

Conformador como estabilizador de amplitude

Quando o circuito é construído usando um amplificador não-linear, tal que:

• $v_o=f(v_i)$

a equação diferencial que rege as oscilições é dada por:

• $\frac{d^2{v}_i}{d{t}^2}-\beta (k(v_i)-k_c)\frac{d{v}_i}{dt}+w_0^2{v}_i=0$

onde $\beta =\frac{1}{R_1{C}_2}$ e

• $k(v_i)=\frac{df(v_i)}{d{v}_i}$

Uma aproximação consiste em supor a existência de uma solução períodica de período $T$ e analisar apenas a sua primeira harmônica $v_i$, :

• $v_i=A\sin (2\pi t/T)$

O ganho ponderado do amplificador linear para esta componente do sinal será dado por:

• $\tilde{k}(A)=\frac{1}{AT\sqrt{2}}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(A\sin (2\pi t/T))\sin (2\pi t/T)dt$

Temos que $\tilde{k}(A)$ é uma função da amplitude $A$, mas não depende do período $T$. Para pequenas oscilações, o ganho é dado por:

• $\underset{A\to 0}{\lim }\tilde{k}(A)={\frac{df(v_i)}{d{v}_i}|}_{v_i=0}>k_c$

Se a função $f$ tiver derivada segunda negativa, então $\tilde{k}(A)$ é uma função decrescente em $A$. Vamos supor que existe uma amplitude crítica $A_c$ tal que:

• $\tilde{k}{A}_c\{\begin{array}{cc}>k_c,& A<A_c\\ =k_c,& A=A_c\\ <k_c,& A>A_c\end{array}$

então a solução $A_c\sin (w_{o}t)$ aproxima um ciclo limite estável da equação.