Regra do paralelogramo

Um paralelogramo. Os lados estão desenhados em azul e as diagonais em vermelho.

Na matemática, a regra do paralelogramo (ou identidade do paralelogramo) é uma propriedade de geometria que relaciona a soma do quadrado dos lados de um paralelogramo com a soma do quadrado de suas diagonais. Essa propriedade pode ser generalizada para qualquer espaço vetorial munido de um produto interno e, em particular, para um espaço euclidiano.

Usando a notação do diagrama à direita, os lados são denotados (AB), (BC), (CD), (DA). Em geometria Euclidiana, um paralelogramo tem os lados opostos iguais, de forma que (AB) = (CD) e (BC) = (DA). Assim, a lei pode ser expressa como:

$$2(AB{)}^2+2(BC{)}^2=(AC{)}^2+(BD{)}^2$$

No caso em que o paralelogramo é um retângulo, as duas diagonais têm comprimentos iguais (AC) = (BD). Nesse caso, a identidade se reduz ao teorema de Pitágoras:

$$2(AB{)}^2+2(BC{)}^2=2(AC{)}^2$$valor máximo da soma vetorial (v1+v2) = valor mínimo da soma vetorial (v1+v2) - para qualquer ângulo

Então, assim, todo losango é paralelogramo.

Identidade do paralelogramo em espaços com produto interno

Em um espaço vetorial munido de um produto interno, uma norma pode ser definida a partir do produto interno:

$$\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩.$$

Como consequência dessa definição, em um espaço vetorial munido de um produto interno, a identidade do paralelogramo é resultado de manipulações algébricas do produto interno.

Suponhamos que esse seja um espaço vetorial real.

Sejam x e y elementos desse espaço vetorial, então:

$$\Vert x+y{\Vert }^2=⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩,$$ $$\Vert x-y{\Vert }^2=⟨x-y,x-y⟩=⟨x,x⟩-⟨x,y⟩-⟨y,x⟩+⟨y,y⟩.$$

Adicionando essas expressões, estabelecemos a identidade do paralelogramo

$$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2⟨x,x⟩+2⟨y,y⟩=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2,$$

Se x e y são ortogonais nesse espaço, então $⟨x,y⟩=0$ e a equação acima se reduz à

$$\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2,$$

que corresponde ao teorema de Pitágoras.

Espaços vetoriais normados satisfazendo a identidade do paralelogramo

Um fato notável é que pode se definir um produto interno para um espaço vetorial normado sobre R que satisfaz à identidade do paralelogramo. A demonstração desse fato é uma consequência direta das identidades de polarização. Para espaços de Banach complexos, demonstra-se o mesmo resultado a partir do Teorema de Von Neumann - Jordan.