Série de Neumann

Uma série de Neumann é uma série matemática da forma

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^n$

onde $T:X\to X$ é um operador linear contínuo sobre um espaço normado $X$ e $T^0:=\mathrm{I}$, o operador identidade. Assim, $T^n$ é uma notação matemática para $n$ operações consecutivas do operador $T$. Isto generaliza a série geométrica.

A série é denominada em memória do matemático Carl Neumann, que a usou em 1877 no contexto da teoria do potencial. A série de Neumann é usada em análise funcional. Forma a base da série de Liouville-Neumann, usada para resolver equações integrais de Fredholm. Também é fundamental no estudo do espectro de operadores limitados.

Propriedades

Suponha que T é um operador limitado no espaço normado X. Se a série de Neumann converge na norma operacional, então I – T é inversível e sua inversa é a soma da série

$(\mathrm{I}-T{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^n.$

Um caso no qual a convergência é garantida é quando X é um espaço de Banach e |T| < 1 no operador norma. Contudo, existem resultados para os quais encontra-se uma condição mais fraca em que a série converge.

O conjunto dos operadores inversíveis é aberto

Um corolário é que o conjunto de operadores inversíveis entre dois espaços de Banach B e B' é aberto na topologia induzida pelo operador norma. Realmente, seja S : B → B' um operador inversível e seja T: B → B' outro operador. Se |S – T | < |S^–1|^–1, então T é também inversível. Isto obtém-se ao expressar T como

$T=S(\mathrm{I}-(\mathrm{I}-S^{-1}T)),$

e aplicando o resultado da seção prévia sobre o segundo fator. A norma de T⁻¹ pode ser limitada por

$|T^{-1}|\le \frac{1}{1-q}|S^{-1}|\text{onde}q=|S-T||S^{-1}|.$

Bibliografia

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Ligações externas

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