Segmento circular

Um segmento circular (mostrado aqui em amarelo) é delimitada por uma secante/corda (a linha tracejada) e um arco de círculo (mostrado acima da área amarela).

Em geometria, um segmento circular (também segmento de círculo) é uma área de um círculo informalmente definido como uma área que é "cortada" do resto do círculo por uma reta secante ou uma corda. O segmento circular constitui a parte entre a secante e um arco, excluindo o centro do círculo.

Fórmula

Seja R o raio do círculo, c o comprimento da corda, s o comprimento do arco, h a altura do segmento e d a altura da porção triangular. A área do segmento circular é igual à área do setor circular menos a área da porção triangular.

O raio é $R=h+d\frac{}{}$

O comprimento do arco é $s=R\theta \frac{}{}$, onde $\theta \frac{}{}$ está em radianos.

A área é $A=\frac{R^2}{2}(\theta -\mathrm{sen}\theta )$

O comprimento da corda é $c=R\sqrt{2-2\cos \theta }$

onde b é a distância do centro de gravidade ao centro do círculo e A é a área do segmento.

Derivação da fórmula da área

A área do setor circular é $\pi R^2\cdot \frac{\theta }{2\pi }=R^2\left(\frac{\theta }{2}\right)$

Se fizermos a bissetriz do ângulo $\theta$, e por conseguinte da porção triangular, obteremos dois triângulos com a área $\frac{1}{2}R\sin \frac{\theta }{2}R\cos \frac{\theta }{2}$ ou $2\cdot \frac{1}{2}R\sin \frac{\theta }{2}R\cos \frac{\theta }{2}$

$=R^2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$

Dado que a área do segmento é a área do setor diminuída da área da porção triangular, temos

$R^2(\frac{\theta }{2}-\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2})$

De acordo com a trigonometria, $2\sin x\cos x=\sin 2x$, logo

$R\sin \frac{\theta }{2}R\cos \frac{\theta }{2}=\frac{R^2}{2}\sin \theta$

Portanto, a área é:

$R^2(\frac{\theta }{2}-\frac{1}{2}\sin \theta )$

$=\frac{R^2}{2}(\theta -\sin \theta )$

Ver também

• Arco
• Setor circular
• Seção cônica

Ligações externas

• Áreas de regiões circulares em Matemática Essencial. Acessado em 22 de maio de 2008.
• Cálculo de segmento circular em WebCalc. Acessado em 22 de maio de 2008.