Soma quadrática de Gauss

Na teoria dos números, as somas quadráticas de Gauss são certas somas finitas de raízes de unidade. Uma soma de Gauss quadrática pode ser interpretada como uma combinação linear dos valores da função exponencial complexa com coeficientes dados por um caractere quadrático; para um caráter geral, se obtém uma soma de Gauss mais geral. Esses objetos são nomeados em homenagem a Carl Friedrich Gauss, que os estudou extensivamente e os aplicou às leis de reciprocidade quadrática, cúbica e biquadrática.

Definição

Para um número primo ímpar Predefinição:Mvar e um inteiro Predefinição:Mvar, a soma quadrática de Gauss Predefinição:Math é definida como

$g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}{\zeta }_p^{a{n}^2},$

onde ${\zeta }_p$ é uma [[Raiz da unidade|raiz Predefinição:Mvar-ésima primitiva da unidade]], por exemplo ${\zeta }_p=\exp (2\pi i/p)$.

Para Predefinição:Mvar divisível por Predefinição:Mvar a expressão ${\zeta }_p^{a{n}^2}$ resulta em $1$. Daí, temos

$g(a;p)=p.$

Equivalentemente,

$g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}(1+\left(\frac{n}{p}\right)){\zeta }_p^{an}.$

Para um Predefinição:Mvar que não é divisível por Predefinição:Mvar, esta expressão se reduz a

$g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right){\zeta }_p^{an}=G(a,\left(\frac{\cdot }{p}\right)),$

onde

$G(a,\chi )=\sum _{n=0}^{p-1}\chi (n){\zeta }_p^{an}$

é a soma de Gauss definida para qualquer caractere Predefinição:Mvar módulo Predefinição:Mvar.

Propriedades

• O valor da soma de Gauss é um inteiro algébrico no Predefinição:Mvar-ésimo campo ciclotômico $\mathbb{Q}({\zeta }_p)$.
• A avaliação da soma de Gauss para um inteiro Predefinição:Mvar não divisível por um primo Predefinição:Math pode ser reduzida para o caso Predefinição:Math:

$g(a;p)=\left(\frac{a}{p}\right)g(1;p).$

• O valor exato da soma de Gauss para Predefinição:Math é dado pela fórmula:

$g(1;p)=\sum _{n=0}^{p-1}{e}^{\frac{2\pi i{n}^2}{p}}=\{\begin{array}{cc}(1+i)\sqrt{p}& \text{if}p\equiv 0(\mathrm{mod}4),\\ \sqrt{p}& \text{se}p\equiv 1(\mathrm{mod}4),\\ 0& \text{if}p\equiv 2(\mathrm{mod}4),\\ i\sqrt{p}& \text{se}p\equiv 3(\mathrm{mod}4).\end{array}$

Observação

Na verdade, a identidade

$g(1;p{)}^2=\left(\frac{-1}{p}\right)p$

foi fácil de provar e levou a uma das provas de reciprocidade quadrática de Gauss. No entanto, a determinação do sinal da soma de Gauss se revelou consideravelmente mais difícil: Gauss só pôde a estabelecer após vários anos de trabalho. Mais tarde, Dirichlet, Kronecker, Schur e outros matemáticos encontraram provas diferentes.

Somas quadráticas generalizadas de Gauss

Sejam Predefinição:Math números naturais. A soma quadrática de Gauss generalizada Predefinição:Math é definida por

$G(a,b,c)=\sum _{n=0}^{c-1}{e}^{2\pi i\frac{a{n}^2+bn}{c}}$.

A soma quadrática de Gauss clássica é a soma Predefinição:Math.

Propriedades

• A soma de Gauss Predefinição:Math depende apenas da classe de resíduos de Predefinição:Math e Predefinição:Math módulo Predefinição:Math.
• As somas de Gauss são multiplicativas, ou seja, dados os números naturais Predefinição:Math com mdc(c, d) = 1 se tem

$G(a,b,cd)=G(ac,b,d)G(ad,b,c).$

Esta é uma consequência direta do teorema chinês do resto.

• Se tem Predefinição:Math se Predefinição:Math exceto se Predefinição:Math divide Predefinição:Math, caso em que se tem

$G(a,b,c)=\gcd (a,c)\cdot G(\frac{a}{\gcd (a,c)},\frac{b}{\gcd (a,c)},\frac{c}{\gcd (a,c)})$.Predefinição:Nre

Assim, na avaliação de somas quadráticas de Gauss, se pode sempre assumir Predefinição:Math.

• Sejam Predefinição:Math inteiros com Predefinição:Math e Predefinição:Math par. Se tem o seguinte análogo da lei de reciprocidade quadrática para (ainda mais geral) somas de Gauss

$\sum _{n=0}^{|c|-1}{e}^{\pi i\frac{a{n}^2+bn}{c}}={\left|\frac{c}{a}\right|}^{\frac{1}{2}}{e}^{\pi i\frac{|ac|-b^2}{4ac}}\sum _{n=0}^{|a|-1}{e}^{-\pi i\frac{c{n}^2+bn}{a}}$.

• Defina

${\epsilon }_m=\{\begin{array}{cc}1& \text{se}m\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ i& \text{se}m\equiv 3(\mathrm{mod}4)\end{array}$

para cada número inteiro ímpar Predefinição:Math. Os valores das somas de Gauss com Predefinição:Math e Predefinição:Math são explicitamente dados por

$G(a,c)=G(a,0,c)=\{\begin{array}{cc}0& \text{se}c\equiv 2(\mathrm{mod}4)\\ {\epsilon }_c\sqrt{c}\left(\frac{a}{c}\right)& \text{se}c\equiv 1(\mathrm{mod}2)\\ (1+i){\epsilon }_a^{-1}\sqrt{c}\left(\frac{c}{a}\right)& \text{se}c\equiv 0(\mathrm{mod}4).\end{array}$

Aqui Predefinição:Math é o símbolo de Jacobi. Esta é a famosa fórmula de Carl Friedrich Gauss.

• Para Predefinição:Math, as somas de Gauss podem ser facilmente calculadas completando o quadrado na maioria dos casos. No entanto, isso falha em alguns casos (por exemplo, Predefinição:Math par e Predefinição:Math ímpar), o que pode ser calculado de forma relativamente fácil por outros meios. Por exemplo, se Predefinição:Math é ímpar e Predefinição:Math, se tem

$G(a,b,c)={\epsilon }_c\sqrt{c}\cdot \left(\frac{a}{c}\right)e^{-2\pi i\frac{\psi (a)b^2}{c}},$

onde Predefinição:Math é algum número com Predefinição:Math. Como outro exemplo, se 4 divide Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar é ímpar e como sempre Predefinição:Math, então Predefinição:Math. Isso pode, por exemplo, ser provado da seguinte forma: por causa da propriedade multiplicativa das somas de Gauss, só temos que mostrar que Predefinição:Math se Predefinição:Math e Predefinição:Math são ímpares com Predefinição:Math. Se Predefinição:Mvar é ímpar, então Predefinição:Math é par para todo Predefinição:Math. Pelo lema de Hensel, para cada Predefinição:Mvar, a equação Predefinição:Math tem no máximo duas soluções em Predefinição:Math. Por causa de um argumento de contagem, Predefinição:Math percorre todas as classes de resíduos pares módulo Predefinição:Mvar exatamente duas vezes. A fórmula da soma geométrica mostra então que Predefinição:Math.

• Se Predefinição:Mvar for um número inteiro livre de quadrados ímpares e Predefinição:Math então

$G(a,0,c)=\sum _{n=0}^{c-1}\left(\frac{n}{c}\right)e^{\frac{2\pi ian}{c}}.$

Se Predefinição:Mvar não for quadrado, o lado direito desaparece, enquanto o lado esquerdo não. Frequentemente, a soma certa também é chamada de soma quadrática de Gauss.

• Outra fórmula útil

$G(n,p^k)=p\cdot G(n,p^{k-2})$

vale para Predefinição:Math e um número primo ímpar Predefinição:Mvar, e para Predefinição:Math e Predefinição:Math.

Referências

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro