Subespaço complementado

Em análise funcional, um subespaço fechado $U$ de um espaço vetorial normado $V$ é dito complementado em $V$ se existe um subespaço fechado $W$ tal que $V=U\oplus W$. Uma motivação para o estudo de espaços complementados é o seguinte resultado: se $V$ é espaço de Banach e $U$ é complementado em $V$, com complemento $W$, então $V$ é homeomorfo a $U\times W$ com a topologia produto.

Definição

Seja $V$ um espaço vetorial e sejam $U$ e $W$ subespaços vetoriais de $V$. Dizemos que $V$ é a soma direta (interna) de $U$ e $W$ se, para todo $v\in V$, existem $u\in U$ e $w\in W$ tais que $v=u+w$ e essa decomposição é única. Denotamos nesse caso $V=U\oplus W$.

Agora, se $V$ é um espaço vetorial normado e $U$ é um subespaço fechado de $V$, $U$ é dito complementado em $V$ se existe $W$ um subespaço fechado de $V$ tal que $V=U\oplus W$.

Note que para todo subespaço $U$ de $V$ existe um subespaço $W$, não necessariamente fechado, tal que $V=U\oplus W$ (se a dimensão de $V$ for infinita, a demonstração desse fato requer o uso do axioma da escolha, por meio do lema de Zorn). Entretando, nem todo subespaço fechado de algum espaço vetorial normado é complementado.

Caracterizações equivalentes para espaços de Banach

Relação com o produto cartesiano

Se $V$ é um espaço vetorial normado e $V=U\oplus W$, vale sempre que a função $S:U\times W\to V$ dada por $S(u,w)=u+w$ é um isomorfismo linear contínuo (com a topologia do produto em $U\times W$). Entretanto, não é verdade em geral que esse isomorfismo é um homeomorfismo (isto é, que a sua inversa também é contínua).

Por outro lado, se $V$ é um espaço de Banach e $V=U\oplus W$, são equivalentes:

1. $U$ e $W$ são fechados em $V$
2. $S:U\times W\to V$ é um homeomorfismo

Assim, se $V$ é um espaço de Banach, o subespaço $U$ é complementado em $V$ se, e somente se, existe $W$ subespaço de $V$ tal que $V$ é homeomorfo a $U\times W$ via $S$.

Relação com projeções

Se $V$ é um espaço de Banach e $U$ é um subespaço fechado de $V$, são equivalentes:

1. $U$ é complementado em $V$
2. Existe $P:V\to U$ transformação linear contínua tal que $\text{Im}P=U$ e $P\circ P=P$

A função $P$ é dita uma projeção sobre $U$. Esse nome se deve à semelhança que essa transformação possui com projeções ortogonais em espaços com produto interno.

Essa caracterização se mostra muito útil para provar que um subespaço é complementado.

Exemplos e outros fatos

Se $V$ é um espaço de Banach:

• Todo subespaço de dimensão finita de $V$ é complementado em $V$.
• Todo subespaço $W$ de $V$ fechado e de codimensão finita (isto é, cuja dimensão do quociente $V/W$ é finita) é complementado em $V$.

Alguns outros fatos sobre espaços complementados:

• Todo subespaço fechado de um espaço de Hilbert é complementado nesse espaço (via projeção ortogonal).

• Um espaço de Banach com a propriedade de que todo subespaço fechado é complementado é isomorfo a um espaço de Hilbert. Em particular, todo espaço de Banach que não é isomorfo a algum espaço de Hilbert possui algum subespaço fechado não-complementado.
• O subespaço $c_0$ das sequências reais convergentes a $0$ não é complementado no espaço $l_{\mathrm{\infty }}$ das sequências reais limitadas (considerando a norma do supremo).