Teorema da contração

Predefinição:Nota: Predefinição:Sem fontes O teorema da contração estabelece a existência e unicidade de pontos fixos para aplicação contrativas em espaços métricos completos compactos. É muito semelhante com o teorema do ponto fixo de Banach, porém não exige que a contração seja uniforme mas exige que o espaço seja compacto.

Definições e enunciado

Seja $𝕏$ um espaço métrico completo compacto e $f:𝕏\to 𝕏$ uma aplicação.

Diz-se que $f$ é uma contração se:

$d(f(x),f(y))<d(x,y)\mathrm{\forall }x\ne y\in 𝕏$

O teorema afirma que então existe um único ponto $x^{\ast }$ tal que:

$f(x^{\ast })=x^{\ast }$

Observe que toda contração é uma função contínua.

Demonstração da unicidade

Suponha que $f$ admita dois pontos fixos diferentes $x^{\ast }$ e $y^{\ast }$. Então:

$d(x^{\ast },y^{\ast })=d(f(x^{\ast }),f(y^{\ast }))<d(x^{\ast },y^{\ast })$, um absurdo.

Demonstração da existência

Defina a função auxiliar $h:𝕏\to ℝ$ como:

$h(x)=\text{d}(x,f(x))$

Esta função é contínua, pois $f$ o é, logo assume um mínimo no compacto $𝕏$:

$\delta =\underset{x\in 𝕏}{\inf }h(x)=h(x^{\ast })$

, para algum $x^{\ast }\in 𝕏$.

Resta-nos mostrar que $x^{\ast }$ é um ponto fixo de $f$, o que equivale a mostrar que $\delta =0$.

Mas, $\delta \ge 0$, se acontecer a desigualdade estrita $\delta >0$, podemos definir $y^{\ast }=f(x^{\ast })$ e temos:

• $d(x^{\ast },y^{\ast })=d(x^{\ast },f(x^{\ast }))\ge \delta >0$, assim $x^{\ast }\ne y^{\ast }$

$\delta \le h(y^{\ast })$, do fato de ser mínimo.

$\delta \le d(y^{\ast },f(y^{\ast }))=d(f(x^{\ast }),f(y^{\ast }))<d(x^{\ast },y^{\ast })=\delta$, um absurdo.

E o resultado segue.

Ver também

• Teorema do ponto fixo de Banach
• Ponto fixo