Teorema de Egorov

Em matemática, o teorema de Egorov é um dos principais teoremas da teoria da medida. Recebe o nome em honra ao físico e geômetra russo Dmitri Egorov.

O teorema estabelece um relação entre convergência quase-sempre e convergência uniforme em um espaço de medida finita.

Enunciado

Seja $\mu$ uma medida positiva, $E$ um conjunto mensurável de medida finita e $f_n:E\to ℝ$ uma seqüência de funções reais convergindo quase-sempre para um função $f$, então para todo $\delta >0$ existe um conjunto mensurável $F\subseteq E$ tal que $\mu (E\mathrm{\setminus }F)\le \delta$ e $f_n\to f$ uniformemente em $F$.

Demonstração

Defina os subconjuntos $E_{k,n}$ de $E$:

$E_{k,n}=\bigcap _{i\ge n}\{x\in E:|f_i(x)-f(x)|\le \frac{1}{k}\}$

Como $\mathrm{\forall }k\ge 1$, $E_{k,1}\subseteq E_{k,2}\subseteq \dots E_{k,n}\subseteq \dots$:

$\mu \left(\bigcup _{n\ge 1}{E}_{k,n}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (E_{k,n})$.

Ainda, como as funções $f_n$ convergem $\mu$-quase-sempre para $f$, temos que, para todo $k\ge 1$:

$\mu \left(\bigcup _{n\ge 1}{E}_{k,n}\right)=\mu (E)$.

Fixe $\delta >0$. Dado que $\mu (E)<\mathrm{\infty }$, existe para cada $k\ge 1$ um inteiro $n_k$ positivo tal que

$\mu (E_{k,n_k})\ge \mu (E)-2^{-k}\delta$.

Definindo:

$F=\bigcap _{k\ge 1}{E}_{k,n_k}$

tem-se:

$\mu (E\mathrm{\setminus }F)=\mu \left(E\mathrm{\setminus }\bigcap _{k\ge 1}{E}_{k,n_k}\right)\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\delta 2^{-k}=\delta$

Para mostrar que $f_n$ de fato converge uniformemente para $f$ em $F$, escolha $\epsilon >0$, e $k$ inteiro positivo tal que $\frac{1}{k}<\epsilon$, escolha $n=n_k$ e o resultado segue pois $F\subseteq E_{k,n_k}$

Bibliografia

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