Teorema do virial

Predefinição:Mais fontes O teorema do virial estabelece que a energia cinética média de um sistema de partículas é igual ao seu virial para os casos em que o valor médio de G seja constante, ou seja, $⟨\frac{dG}{dt}⟩=0$:

$⟨T⟩=S=-\frac{1}{2}⟨\sum _{k=1}^N{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k⟩$ .

Considere-se a seguinte quantidade física:

$G=\sum _{k=1}^N{𝐩}_k\cdot {𝐫}_k$ .

Nessa expressão ${𝐫}_k$ e ${𝐩}_k$ são, respectivamente, o vetor posição e o vetor momento linear da k-ésima partícula de um sistema de partículas. O virial $S$ de um conjunto de $N$ partículas é definido de tal forma que

$S=-\frac{1}{2}⟨\sum _{k=1}^N\frac{d{𝐩}_k}{dt}\cdot {𝐫}_k⟩=-\frac{1}{2}⟨\sum _{k=1}^N{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k⟩$ .

O símbolo $⟨⟩$ representa a média temporal da grandeza por ele encerrada ao longo do intervalo de tempo adequado à situação, tipicamente o período de oscilação em movimentos periódicos.

A expressão "virial" deriva do latim, vis, viris, palavra para "força" ou "energia" e foi cunhada por Rudolf Clausius em 1870.

Uma das grandes utilidades do teorema do virial se deve ao fato de que ele permite que a energia cinética total seja calculada mesmo para sistemas complicados que não têm uma solução exata, tais como aqueles considerados em mecânica estatística. Por exemplo, o teorema do virial pode ser usado para derivar o teorema da equipartição, a equação de Clapeyron para os gases ideais ou mesmo para calcular o limite de Chandrasekhar para a estabilidade de estrelas anãs brancas.

Dedução da expressão matemática para o virial

A derivada temporal de G pode ser escrita como

$\frac{dG}{dt}=\sum _{k=1}^N\frac{d{𝐩}_k}{dt}\cdot {𝐫}_k+\sum _{k=1}^N{𝐩}_k\cdot \frac{d{𝐫}_k}{dt}$

$=\sum _{k=1}^N{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k+\sum _{k=1}^N{m}_k\frac{d{𝐫}_k}{dt}\cdot \frac{d{𝐫}_k}{dt}$

ou, de modo mais simples,

$\frac{dG}{dt}=2T+\sum _{k=1}^N{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k.$

Aqui, $m_k$ representa a massa da $k$-ésima partícula, ${𝐅}_k=\frac{d{𝐩}_k}{dt}$ é a força líquida atuando sobre a partícula e $T$ é a energia cinética total do sistema.

$T=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^N{m}_k{v}_k^2=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^N{m}_k\frac{d{𝐫}_k}{dt}\cdot \frac{d{𝐫}_k}{dt}.$

A média desta derivada no intervalo de tempo $\tau$ é definida como:

${⟨\frac{dG}{dt}⟩}_{\tau }=\frac{1}{\tau }\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\frac{dG}{dt}dt=\frac{1}{\tau }\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}dG=\frac{G(\tau )-G(0)}{\tau },$

Assim, tomando a média dos dois lados da expressão para a derivada de G com relação ao tempo, temos:

${⟨\frac{dG}{dt}⟩}_{\tau }=2{⟨T⟩}_{\tau }+\sum _{k=1}^N{⟨{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k⟩}_{\tau }.$

Da expressão acima segue-se que, se ${⟨\frac{dG}{dt}⟩}_{\tau }=0$, então

$2{⟨T⟩}_{\tau }=-\sum _{k=1}^N{⟨{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k⟩}_{\tau }.$

Existem muitas razões pelas quais a média das derivadas temporais podem se anular, isto é,

${⟨\frac{dG}{dt}⟩}_{\tau }=0$.

Uma razão frequentemente citada se aplica a sistemas ligados, i.e., sistemas em que as partículas permanecem sempre juntas. Nesse caso, o virial $G^{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}$ está normalmente entre dois valores extremos, $G_{\min }$ e $G_{\max }$, e a média vai a zero para o limite de tempos muitos longos $\tau$

$\underset{\tau \to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|{⟨\frac{d{G}^{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}}{dt}⟩}_{\tau }\right|=\underset{\tau \to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{G(\tau )-G(0)}{\tau }\right|\le \underset{\tau \to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{G_{\max }-G_{\min }}{\tau }=0.$

Mesmo se a média da derivada temporal ${⟨\frac{dG}{dt}⟩}_{\tau }$ é somente aproximadamente zero, o teorema do virial continua valendo, com a mesma ordem de aproximação.

Assim, quando a média da derivada temporal de G anula-se,

${⟨T⟩}_{\tau }=-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^N{⟨{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k⟩}_{\tau }.$

que é a expressão matemática para o Teorema do Virial.

Relação com a energia potencial

A força total ${𝐅}_k$ atuando sobre a partícula $k$ é a soma de todas as forças exercidas pelas outras partículas do sistema, $j$

${𝐅}_k=\sum _{j=1}^N{𝐅}_{jk}$

onde, ${𝐅}_{jk}$ é a força aplicada pela partícula $j$ na partícula $k$. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial pode ser escrito como

$\sum _{k=1}^N{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k=\sum _{k=1}^N\sum _{j=1}^N{𝐅}_{jk}\cdot {𝐫}_k.$

Como nenhuma partícula atua sobre sí mesma (i.e., ${𝐅}_{jk}=0$, sempre que $j=k$), temos que

$\sum _{k=1}^N{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k=\sum _{k=1}^N\sum _{j<k}{𝐅}_{jk}\cdot {𝐫}_k+\sum _{k=1}^N\sum _{j>k}{𝐅}_{jk}\cdot {𝐫}_k=\sum _{k=1}^N\sum _{j<k}{𝐅}_{jk}\cdot ({𝐫}_k-{𝐫}_j).$

onde assumimos que a terceira lei de Newton pode ser aplicada, i.e., ${𝐅}_{jk}=-{𝐅}_{kj}$ (reações iguais e opostas).

É comum acontecer que as forças possam ser derivadas da energia potencial $V$ que é uma função somente da distância, $r_{jk}$, entre as partículas $j$ e $k$. Como força é o gradiente da energia potencial, temos, neste caso

${𝐅}_{jk}=-{\mathrm{\nabla }}_{{𝐫}_k}V=-\frac{dV}{dr}\frac{{𝐫}_k-{𝐫}_j}{r_{jk}},$

a qual é igual e oposta a ${𝐅}_{kj}=-{\mathrm{\nabla }}_{{𝐫}_j}V$, a força aplicada pela partícula $k$ sobre a partícula $j$, como pode ser confirmado por cálculos explícitos. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial é

$\sum _{k=1}^N{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k=\sum _{k=1}^N\sum _{j<k}{𝐅}_{jk}\cdot ({𝐫}_k-{𝐫}_j)=-\sum _{k=1}^N\sum _{j<k}\frac{dV}{dr}\frac{{({𝐫}_k-{𝐫}_j)}^2}{r_{jk}}=-\sum _{k=1}^N\sum _{j<k}\frac{dV}{dr}{r}_{jk}.$

Aplicação a forças que seguem uma lei da potência

É comum acontecer que a energia potencial $V$ é uma função do tipo lei de potência

$V(r_{jk})=\alpha r_{jk}^n,$

onde o coeficiente $\alpha$ e o expoente $n$ são constantes. Em tais casos, temos:

$-\sum _{k=1}^N{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k=\sum _{k=1}^N\sum _{j<k}\frac{dV}{dr}{r}_{jk}=\sum _{k=1}^N\sum _{j<k}nV(r_{jk})=nU$

onde $U$ é a energia potencial total do sistema

$U=\sum _{k=1}^N\sum _{j<k}V(r_{jk}).$

Em tais casos, quando ${⟨\frac{dG}{dt}⟩}_{\tau }=0$, a equação geral torna-se

$⟨T{⟩}_{\tau }=-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^N⟨{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k{⟩}_{\tau }=\frac{n}{2}⟨U{⟩}_{\tau }.$

Um exemplo muito citado é a força de atração gravitacional, para a qual $n=-1$. Neste caso,

$⟨T{⟩}_{\tau }=-\frac{1}{2}⟨U{⟩}_{\tau }.$

Este resultado é notavelmente útil para sistemas gravitantes complexos, tais como o sistema solar ou galáxias, e também para sistemas eletrostáticos, para os quais $n=-1$, também.

Apesar de ter sido derivado para a mecânica clássica, o teorema do virial também vale para a mecânica quântica.

Inclusão de campos eletromagnéticos

O teorema do virial pode ser expandido para incluir o campo magnético e o campo elétrico.

$\frac{1}{2}\frac{d^2}{d{t}^2}I+\underset{V}{\int }{x}_k\frac{\partial G_k}{\partial t}{d}^{3}r=2(T+U)+W^E+W^M-\int x_k(p_{ik}+T_{ik})d{S}_i,$

onde I é o momentum de inércia, G é o vetor de Poynting, T é a energia cinética do "fluido", U é a energia térmica (aleatória ou cinética) das partículas, W^E e W^M são as energias dos campos elétrico e magnético contidas no volume considerado. Finalmente, p_ik é o tensor pressão de fluido expresso no sistema de coordenadas móvel local

$p_{ik}=\mathrm{\Sigma }{n}^{\sigma }{m}^{\sigma }⟨v_i{v}_k{⟩}^{\sigma }-V_i{V}_k\mathrm{\Sigma }{m}^{\sigma }{n}^{\sigma }$,

e T_ik é o tensor de stress eletromagnético,

$T_{ik}=(\frac{{\epsilon }_0{E}^2}{2}+\frac{B^2}{2{\mu }_0})-({\epsilon }_0{E}_i{E}_k+\frac{B_i{B}_k}{{\mu }_0}).$

Um plasmoide é uma configuração finita de campos magnéticos e plasma. Com o teorema do virial é fácil ver que qualquer configuração que seja, se expandirá se não for contida por forças externas. Em uma configuração finita sem paredes de pressão-rolamento ou bobinas magnéticas, a integral de superfície será nula. Como todos os outros termos do lado direito são positivos, a aceleração do momentum de inércia também será positiva. Também é fácil de estimar o tempo de expansão τ. Se a massa total M está confinada dentro de um raio R, então o momentum de inércia é aproximadamente MR², e o lado esquerdo do teorema do virial é MR ²/τ². Os termos no lado direito somam até cerca de pR³, onde p é o maior entre a pressão de plasma e a pressão magnética. Equacionando esses dois termos e resolvendo para τ, encontramos

$\tau \sim R/c_s,$

onde c_s é a velocidade da onda acústica de íons (ou onda de Alfven), se a pressão magnética é maior que a pressão de plasma). Logo, a meia-vida esperada para um plasmóide é da ordem do tempo de trânsito acústico (ou de Alfven).

Biblografia

• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9