Categoria (teoria das categorias)

Na matemática, uma categoria é um conceito similar a um grafo direcionado, incluindo setas entre objetos, entre elas havendo identidades e uma operação de composição, com propriedades análogas à composição de funções.

A teoria das categorias é o estudo de propriedades e classificações de categorias e conceitos relacionados. Ela provê uma linguagem que simplifica conceitos e demonstrações em várias áreas de matemática, possibilitando delinear e separar os resultados gerais dos que se aplicam a uma área específica.

Categorias foram introduzidas por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane com o objetivo de dar um significado rigoroso ao conceito de "canônico" ou "natural".

Definição

Uma categoria Predefinição:Math consiste nos seguintes elementos:

• Uma coleção de objetos, coleção esta denotada por

  Predefinição:Math ou, simplesmente, Predefinição:Math.

• Para cada dupla Predefinição:Math de objetos, uma coleção de triplas Predefinição:Math, chamadas setas (ou morfismos) do domínio (ou origem) Predefinição:Math até o contradomínio (ou destino) Predefinição:Math, para as quais são usadas as notações

  Predefinição:Math, $a\stackrel{f}{\to }b$, Predefinição:Math (ou brevemente Predefinição:Math), Predefinição:Math, Predefinição:Math ou Predefinição:Math.

• Para cada objeto Predefinição:Math, uma seta de Predefinição:Math até Predefinição:Math, chamada identidade, e denotada por Predefinição:Math ou Predefinição:Math.
• Para cada tripla de objetos Predefinição:Math, uma operação de composição, levando

  cada seta Predefinição:Math e cada seta Predefinição:Math a uma seta Predefinição:Math.

• Devem ser satisfeitas as igualdades:

  (Lei da identidade) Para todos objetos Predefinição:Math e todas as setas Predefinição:Math, Predefinição:Math.

  (Associatividade) Para todos objetos Predefinição:Math e todas as setas Predefinição:Math, Predefinição:Math e Predefinição:Math, Predefinição:Math.

Categorias definidas têm, comumente, nome escrito em negrito, como Predefinição:Math, ou sem serifas, como $𝖢𝖺𝗍$. Nota-se que, como definido acima, Predefinição:Math a menos que Predefinição:Math e Predefinição:Math.

Exemplos de categorias

• A categoria dos conjuntos, denotada por Predefinição:Math (inglês set) ou por Predefinição:Math (francês ensemble), tem como coleção de objetos a coleção de conjuntos pequenos, e, para cada dois objetos Predefinição:Math seus, as setas Predefinição:Math serão precisamente as funções de Predefinição:Math a Predefinição:Math (etiquetadas com seu domínio e contradomínio), sendo que a identidade e a composição correspondem às funções identidades e à composição de funções, respectivamente.
• A categoria dos grupos, denotada por Predefinição:Math, tem como coleção de objetos a coleção de grupos Predefinição:Math para os quais Predefinição:Math é conjunto pequeno, e as suas setas correspondem aos homomorfismos de grupos. De maneira similar, há a categoria dos monoides Predefinição:Math, dos grupos abelianos Predefinição:Math, dos anéis Predefinição:Math, dos módulos Predefinição:Math etc.
• A categoria dos espaços topológicos, denotada por Predefinição:Math, tem como objetos os espaços topológicos Predefinição:Math para os quais Predefinição:Math é conjunto pequeno, e as suas setas correspondem às funções contínuas.
• Para cada monoide Predefinição:Math, há uma categoria Predefinição:Math, com um único objeto, e cujas setas correspondem biunivocamente aos elementos de Predefinição:Math, com seta identidade sendo o elemento neutro de Predefinição:Math, e composição dada pela operação Predefinição:Math.
• Para cada pré-ordem Predefinição:Math, há uma categoria, cujos objetos são elementos de Predefinição:Math, e tal que, para objetos Predefinição:Math, há exatamente um morfismo Predefinição:Math se Predefinição:Math, e nenhum se Predefinição:Math. A existência de identidades vem de que Predefinição:Math, e a existência de composições segue da transitividade.
• Para cada conjunto Predefinição:Math, há uma categoria discreta, cujos objetos são precisamente os elementos de Predefinição:Math, e na qual os únicos morfismos são as identidades.
• Para cada grafo Predefinição:Math, há a categoria livre, cujos objetos são os vértices em Predefinição:Math, e, dados objetos Predefinição:Math, os morfismos Predefinição:Math correspondem precisamente aos caminhos formados pelas arestas em Predefinição:Math, iniciando em Predefinição:Math e terminando em Predefinição:Math; as identidades correspondem a caminhos de zero arestas, e as composições correspondem a concatenações de caminhos.

Categorias pequenas e grandes

Na teoria de conjuntos (mais precisamente axiomas de Zermelo-Fraenkel), não há conjunto incluindo todos os conjuntos. Similarmente, não há categoria incluindo todos os conjuntos (ou grupos, espaços topológicos etc.) Isso pode ser resolvido, usando universos de Grothendieck. Dado $U$ universo, chame um conjunto de ($U$-)pequeno se ele for membro de $U$. Então, $U\text{-}𝖲𝖾𝗍$ será a categoria dos conjuntos pequenos. Dado o axioma de universos, temos uma sequência: $$U_0\text{-}𝖲𝖾𝗍⊊U_1\text{-}𝖲𝖾𝗍⊊U_2\text{-}𝖲𝖾𝗍⊊\cdots$$ em que $U_0\in U_1\in U_2\in \cdots$ são universos.

Uma categoria é ($U$-)pequena quando o conjunto de objetos e todos os conjuntos de setas Predefinição:Math são ($U$-)pequenos. Notar que $U\text{-}𝖲𝖾𝗍$ é assim uma categoria $U$-grande.

Na prática, o prefixo "$U$-" é omitido.

Esta, porém, não é a única forma de resolver esse problemas lógicos. Adámek, Herrlich e Strecker, por exemplo, supõem somente a existência de conjuntos, classes e conglomerados (que correspondem, respectivamente, a elementos de um universo, subcoleções do universo e coleções de subcoleções do universo); nesse contexto, os Predefinição:Math são sempre conjuntos (não podem ser classes quaisquer), e uma categoria pequena é definida como uma categoria cuja coleção de objetos é um conjunto.

Categoria oposta

Para cada categoria $C$, temos a categoria oposta (ou dual) $C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$, obtida invertendo a direção das setas de $C$. Mais precisamente, $C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ tem os mesmos objetos que $C$, e cada morfismo $b\to a$ em $C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ é denotado por $f^{\mathrm{o}\mathrm{p}}:b\to a$ para exatamente um morfismo $f:a\to b$; identidades são $(1_a{)}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$, e composição é definida por $$g^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\circ f^{\mathrm{o}\mathrm{p}}=(f\circ g{)}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$$ para setas de domínio e contradomínio adequados.

A cada teorema do formato "para toda categoria $C$, $\varphi (C)$ é verdade", há o costume de expressar o caso particular "$\varphi (C^{\mathrm{o}\mathrm{p}})$" sem envolver a definição de categoria oposta (por exemplo, trocando "domínio" com "contradomínio", "monomorfismo" com "epimorfismo" etc.). Isso pode deixar mais fácil de encontrar demonstrações de outros resultados.

Produto de categorias

A categoria $𝖢𝖺𝗍$ das categorias pequenas (e functores como morfismos) tem produtos binários. Eis uma construção explícita. Dadas categorias $B,C$, os objetos de $B\times C$ são as duplas $(b,c)$, com $b$ objeto de $B$ e $c$ objeto de $C$, e os morfismos $(b,c)\to (b^{\prime },c^{\prime })$ são as duplas de morfismos $f:b\to b^{\prime }$ e $g:c\to c^{\prime }$. A identidade de $(b,c)$ é $(1_b,1_c)$, e composições são dadas por: $$(f^{\prime },g^{\prime })\circ (f,g)=(f^{\prime }\circ f,g^{\prime }\circ g)$$

Tipos de morfismos

Um morfismo Predefinição:Math numa categoria Predefinição:Math é chamado:

• um monomorfismo quando é cancelável à esquerda, isto é,

  para todo objeto Predefinição:Math e morfismos Predefinição:Math satisfazendo Predefinição:Math, vale Predefinição:Math.

• um epimorfismo quando é cancelável à direita, isto é,

  para todo objeto Predefinição:Math e morfismos Predefinição:Math satisfazendo Predefinição:Math, vale Predefinição:Math.

• um bimorfismo quando é um monomorfismo e um epimorfismo.
• uma seção quando é um inverso direito, isto é,

  existe Predefinição:Math tal que Predefinição:Math.

• uma retração quando é um inverso esquerdo, isto é,

  existe Predefinição:Math tal que Predefinição:Math.

• um endomorfismo quando Predefinição:Math.
• um isomorfismo quando é um inverso, isto é,

  existe Predefinição:Math tal que Predefinição:Math e Predefinição:Math.

• um automorfismo quando é um isomorfismo e um endomorfismo.
• um idempotente quando Predefinição:Math e Predefinição:Math.
• um idempotente que cinde quando Predefinição:Math e

  há objeto Predefinição:Math e morfismos Predefinição:Math e Predefinição:Math tais que Predefinição:Math e Predefinição:Math.

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

Bibliografia

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