Teste M de Weierstrass

Predefinição:Sem fontes Em matemática, no estudo das séries de funções, o teste M de Weierstrass é uma extensão do teste da comparação que aplica à estabelecer a convergência uniforme destas séries, ao compará-las com séries numéricas.

O teste M de Weierstrass se aplica originalmente às séries de funções reais ou complexas, mas pode se aplicar a qualquer a séries de funções cuja imagem são pontos de um espaço de Banach.

Notação e enunciado

Sejam $\{f_n\}$ uma seqüência de funções reais ou complexas definidas em um conjunto $A$, $M_n$ uma seqüência de reais não-negativos, tais que:

• $|f_n(x)|\le M_n$ para todo $n>1$ e todo $x\in A$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<\mathrm{\infty }$

Então:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ converge uniformemente em $A$

Demonstração

O teste da comparação garante que a série numérica:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ converge para cada $x\in A$

Seja $f$ o limite pontual de $f_n$ Para mostrar que a convergência é uniforme, fixe um $ϵ>0$. Da convegência da série formada pelos $M_n$, temos que existe um $N$ tal que:

$\sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<ϵ$

Então estimamos pelo teste da comparação, mais uma vez.

$\sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)\le \sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}|f_n(x)|\le \sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<ϵ$

E o resultado segue, pois $N$ não foi escolhido com base em $x$.

Generalização

A versão mais geral envolvendo funções cuja imagem está num espaço de Banach é análoga substituindo módulos por normas.

• $||f_n||\le M_n$.

Ver também

• Convergência uniforme
• Convergência pontual
• Séries de Taylor
• Raio de convergência