Números de Liouville

Em teoria dos números, um número real $x$ é dito número de Liouville se, para todo inteiro positivo $n$, existirem inteiros $p$ e $q$ tais que:Predefinição:Sfn

$0<|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n},q>1$

Note-se que números de Liouville podem ser aproximados tão bem quanto se queira por números racionais. Em 1844, o matemático francês Joseph Liouville demonstrou que todo número com esta propriedade de aproximação é transcendente. Este resultado permitiu-lhe construir a constante de Liouville, primeiro número transcendente conhecido.

Propriedades

• Sabe-se que todo número de Liouville é um número transcendente. A recíproca, no entanto, é falsa. Existem números transcendentes (como e e pi) que não são de Liouville.Predefinição:Sfn
• O conjunto dos números de Liouville é um conjunto de medida zero na reta.
• O conjunto dos números de Liouville é o complementar de um conjunto de primeira categoria na reta.

Irracionalidade dos números de Liouville

É relativamente fácil provar que um número $x$ de Liouville é necessariamente um número irracional. Para isto, procedemos por contradição:

Suponha $x=\frac{c}{d}$ e escolha um inteiro positivo $n$ tal que $2^{n-1}>d$. Pela definição de número de Liouville, existem inteiros $p$ e $q$ tais que:

$0<|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}$.

A primeira desigualdade prova que $\frac{p}{q}\ne \frac{c}{d}$ o que equivale a dizer que $|cq-pd|\ge 1$, então:

$|x-\frac{p}{q}|=|\frac{c}{d}-\frac{p}{q}|=\left|\frac{cq-pd}{dq}\right|\ge \frac{1}{dq}>\frac{1}{2^{n-1}q}\ge \frac{1}{q^n}$

o que é uma contradição.

A constante de Liouville

A constante de Liouville é historicamente o primeiro número transcendente reconhecido como tal e define-se pela série numérica:Predefinição:Sfn

$L=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-j!}$

A convergência desta série é facilmente provada usando o teste da razão. Para mostrar que é um número de Liouville, escolha um inteiro positivo $n$ e defina:

$p=\sum _{j=1}^{n}10^{n!-j!},q=10^{n!}$

Temos então:

$|L-\frac{p}{q}|=\sum _{j=n+1}^{\mathrm{\infty }}10^{-j!}=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}10^{-(n+j+1)!}\le \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}10^{-(n+1)!-j}=10^{-(n+1)!}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}10^{-j}<10^{-n!n}=\frac{1}{q^n}$

Como $L\ne \frac{p}{q}$, a primeira desigualdade é trivial e temos que $L$ é um número de Liouville e, portanto, um número transcendente.

Transcendência dos números de Liouville

A demonstração deste teorema de Liouville procede estabelecendo primeiramente um lema a respeito dos números algébricos. Este lema é comumente chamado de Teorema de Liouville sobre as aproximações diofantinas.

Lema : Se $\alpha$ é um número irracional raiz de um polinômio $f$ de grau $n$ positivo e com coeficientes inteiros, então existe um real $A$ positivo tal que, para toda escolha de inteiros $p$, $q>0$, vale:Predefinição:Sfn

$|\alpha -\frac{p}{q}|>\frac{A}{q^n}$.

Demonstração do lema

Seja M, o valor máximo de $|f^{\prime }(x)|$ no intervalo $[\alpha -1,\alpha +1]$. Sejam ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ as raízes distintas de $f$ que diferem de $\alpha$. Fixe $A>0$ satisfazendo:

$A<\min (1,\frac{1}{M},|\alpha -{\alpha }_1|,|\alpha -{\alpha }_2|,\dots ,|\alpha -{\alpha }_m|)$

agora, suponha que existam inteiros $p$ e $q$ contradizendo o lema:

$|\alpha -\frac{p}{q}|\le \frac{A}{q^n}\le A<\min (1,|\alpha -{\alpha }_1|,|\alpha -{\alpha }_2|,\dots ,|\alpha -{\alpha }_m|)$

então $\frac{p}{q}\in [\alpha -1,\alpha +1]$ e $\frac{p}{q}\notin \{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m\}$, e como $\alpha$ é irracional, $\frac{p}{q}\ne \alpha$ então $\frac{p}{q}$ não é raiz de $f$.

Pelo teorema do valor médio, há um $x_0$ entre $\frac{p}{q}$ e $\alpha$ tal que

$f(\alpha )-f\left(\frac{p}{q}\right)=(\alpha -\frac{p}{q})f^{\prime }(x_0),$

Uma vez que $\alpha$ é raiz de $f$' mas $\frac{p}{q}$ não é, é fácil ver que $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ e, conseqüentemente, $|f^{\prime }(x_0)|>0$ e, portanto :

$|\alpha -\frac{p}{q}|=\frac{|f(\alpha )-f(\frac{p}{q})|}{|f^{\prime }(x_0)|}=\frac{|f(\frac{p}{q})|}{|f^{\prime }(x_0)|}$

$f$ é, então da forma $\sum _{i=1}^n{c}_i{x}^i$ com cada $c_i$ inteiro; logo podemos expressar $\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|$ como:

$\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|=\left|\sum _{i=1}^n{c}_i{p}^i{q}^{-i}\right|=\frac{\left|\sum _{i=1}^n{c}_i{p}^i{q}^{n-i}\right|}{q^n}\ge \frac{1}{q^n}$

Como $\frac{p}{q}$ não é raiz de $f$, o número inteiro $\sum _{i=1}^n{c}_i{p}^i{q}^{n-i}\ne 0$ e, portanto, temos:

$\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|\ge \frac{1}{q^n}$

Posto que $|f^{\prime }(x_0)|\le M$ pela definição de $M$, e $\frac{1}{M}>A$ pela definição de $A$, temos:

$|\alpha -\frac{p}{q}|=\frac{|f(\frac{p}{q})|}{|f^{\prime }(x_0)|}\ge \frac{1}{M{q}^n}>\frac{A}{q^n}\ge |\alpha -\frac{p}{q}|$

O que é uma contradição e demonstra o lema.

Demonstração de todo número de Liouville é transcendente

Seja $x$ um número de Liouville, já mostramos que $x$ é irracional. Se $x$ for algébrico, então, pelo lema, existe um certo número inteiro $n$ e um certo inteiro real positivo $A$ tal que para todos os pares $p$ e $q$, vale:

$|x-\frac{p}{q}|>\frac{A}{q^n}$.

Fixe $r$ um inteiro positivo tal que $\frac{1}{(2^r)}\le A$. Define $m=r+n$. Da defininção de número de Liouvile, existem inteiros $a$ e $b>1$ tais que:

$|x-\frac{a}{b}|<\frac{1}{b^m}=\frac{1}{b^{r+n}}=\frac{1}{(b^r{b}^n)}\le \frac{1}{(2^r{b}^n)}\le \frac{A}{b^n}$

uma contradição que demonstra o teorema.

O conjunto dos números de Liouville tem medida zero

Um resultado interessante é que o conjunto $𝕃$ formado por todos os números de Liouville na reta possui medida zero.Predefinição:Sfn

Para mostrar isto, basta verificar que para todo $m$ inteiro positivo, vale:

${\mu }^{*}(𝕃\cap (-m,m))=0$

onde ${\mu }^{*}$ é a medida exterior de Lebesgue na reta.

Pela definição de número de Liouville, temos que se $x\in 𝕃$ e $n$ é um inteiro positivo, então existem $p$, $q$ tais que:

$|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n},q\ge 2$.

em outras palavras:

$x\in (\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n})$.

com $\frac{p}{q}\in (x-\frac{1}{q^n},x+\frac{1}{q^n})\subseteq (-m-\frac{1}{q^n},m+\frac{1}{q^n})$

ou, ainda: $p\in (-mq-\frac{1}{q^{n-1}},mq+\frac{1}{q^{n-1}})$ Como $p$ é inteiro e $\frac{1}{q^{n-1}}\le 1$, podemos escrever $p\in (-mq,mq)$.

logo:

$x\in \bigcup _{q=2}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{p=-mq}^{mq}(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n})$.

e, portanto:

$𝕃\cap (-m,m)\subseteq \bigcup _{q=2}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{p=-mq}^{mq}(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}),\mathrm{\forall }n=1,2,3,\dots$.

Uma vez que $|(\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n})-(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n})|=\frac{2}{q^n}$, podemos estimar:

${\mu }^{*}(𝕃\cap (-m,m))\le \sum _{q=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{p=-mq}^{mq}\frac{2}{q^n}=\sum _{q=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(2mq+1)}{q^n}\le (4m+1)\sum _{q=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{q^{n-1}}\le (4m+1)\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dq}{q^{n-1}}\le \frac{4m+1}{n-2},\mathrm{\forall }n>2$

Do fato que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{4m+1}{n-2}=0$, temos que $𝕃\cap (-m,m)$ tem medida exterior nula e portanto é mensurável com medida zero. E o resultado segue.

O conjunto dos números de Liouville é o complementar de um conjunto magro

Vamos mostrar agora que, não obstante o conjunto dos números de Liouville seja "pequeno" do ponto de vista da medida, ele é grande do ponto de vista da topologia.

Para cada $n$ inteiro positivo defina:

$U_n=\bigcup _{q=2}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{p=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n})$.

Os conjuntos $U_n$ são abertos e densos na reta real $ℝ$, pois é um conjuto aberto que contém os racionais. Mais ainda, $L=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n\setminus \mathbb{Q}$ e disto segue que $L$ é G-delta denso, logo seu complementar é uma intersecção enumerável de fechados nunca densos.

Bibliografia

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