Teorema de Taylor

Predefinição:Sem fontes Predefinição:Cálculo Em cálculo, o Teorema de Taylor, recebe seu nome do matemático britânico Brook Taylor, quem o enunciou em 1712. Este teorema permite aproximar uma função derivável na vizinhança reduzida em torno de um ponto a: E (a, d) mediante um polinômio cujos coeficientes dependem das derivadas da função nesse ponto. Em termos matemáticos: Se $n$ ≥ 0 é um inteiro e $f$ uma função que é derivável $n$ vezes no intervalo fechado [$a$, $x$] e n+1 no intervalo aberto ] $a$, $x$[, então, deduz-se que:

$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+R$

$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+R$

Onde, $n!$ denota o fatorial de $n$, e $R$ é o resto, termo que depende de $x$ e é pequeno se $x$ está próximo ao ponto $a$. Existem duas expressões para $R$ que referem-se à continuação:

$R=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$

onde $a$ e $x$, pertencem aos números reais, $n$ aos inteiros e $\xi$ é um número real entre $a$ e $x$.

$R=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t{)}^{n}dt$

Se $R$ é expresso da primeira forma, é denominado Termo complementar de Lagrange, dado que o Teorema de Taylor enuncia-se como uma generalização do Teorema do valor médio ou Teorema de Lagrange, enquanto que a segunda expressão de R mostra ao teorema como uma generalização do Teorema fundamental do cálculo integral.

Para algumas funções $f(x)$, pode-se provar que o resto, $R$, aproxima-se de zero quando $n$ aproxima-se do ∞; tais funções podem ser expressas como séries de Taylor em uma vizinhança reduzida ao redor de um ponto $a$ e são denominadas funções analíticas.

O teorema de Taylor com $R$ expresso da segunda forma é também válido se a função $f$ tem números complexos ou valores vetoriais. Além disso, existe uma variação do teorema de Taylor para funções com múltiplas variáveis.

Teorema de Taylor para várias variáveis

O Teorema de Taylor pode ser generalizado para o caso de várias variáveis da seguinte forma: seja B uma bola em R^N de centro a, e f uma função de valores reais definida no fecho $\overline{B}$, possuindo n+1 derivadas parciais contínuas em todos os pontos. O teorema de Taylor afirma que para qualquer $x\in B$, temos

$f(x)=\sum _{|\alpha |=0}^n\frac{1}{\alpha !}\frac{{\partial }^{\alpha }f(a)}{\partial x^{\alpha }}(x-a{)}^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=n+1}{R}_{\alpha }(x)(x-a{)}^{\alpha }$

onde o somatório é feito sobre os multi-índices α (onde se utiliza a notação multi-índice nessa fórmula).

O termo restante satisfaz a desigualdade

$|R_{\alpha }(x)|\le \underset{y\in \overline{B}}{\sup }\left|\frac{1}{\alpha !}\frac{{\partial }^{\alpha }f(y)}{\partial x^{\alpha }}\right|$

para todo α onde |α| = Predefinição:Nowrap. Tal qual no caso de uma variável, os termos de resto podem ser expressos explicitamente.

Ver também

• Série de Taylor