Cálculo com múltiplas variáveis

Cálculo com múltiplas variáveis (também conhecido como cálculo multivariável) é a extensão do cálculo em uma variável ao cálculo em diversas variáveis: as funções as quais são diferenciáveis e integráveis envolvem várias variáveis ao invés de uma única variável.

Não é mais que a extensão do cálculo infinitesimal a funções escalares e vetoriais de várias variáveis, com tudo o que esta generalização implica.

Campo escalar com duas variáveis.

Cálculo diferencial em campos escalares e vetoriais

Funções de Rⁿ em R^m. Campos escalares e vetoriais

Formulando as definições para campos vetoriais, estas também sendo válidas para campos escalares. Seja

$𝐟:V⟶W$

um campo vetorial que faz corresponder a todo ponto P definido biunivocamente por sua vetor posição um vetor $𝐟\left(𝐎𝐏\right)$ onde o ponto O é a origem de coordenadas.

$V\subseteq {ℝ}^n,W\subseteq {ℝ}^m,$ com $n>1$ e $m⩾1$. Quando $m=1$ temos um campo escalar. Para $m>1$ temos um campo vetorial. Utiliza-se a norma euclidiana para encontrar a magnitude dos vetores.

Limites e continuidade

Sejam $𝐚\in {ℝ}^n$ e $𝐛\in {ℝ}^m.$ Escrevemos:

$\underset{𝐱\to 𝐚}{\lim }𝐟\left(𝐱\right)=𝐛$,

ou ainda,

$𝐟(𝐱)\to 𝐛$ cuando $𝐱\to 𝐚$

para expressar o seguinte:

$\underset{\Vert 𝐱\mathbf{-}𝐚\Vert \to 0}{\lim }\Vert 𝐟\left(𝐱\right)-𝐛\Vert =0$

onde $\Vert 𝐱\Vert$ é a norma euclideana de $𝐱$.

Expresando-o em função das componentes de $𝐱=(x_1,\dots ,x_n),𝐚=(a_1,\dots ,a_n),$

$\underset{(x_1,\dots ,x_n)\to (a_1,\dots ,a_n)}{\lim }𝐟(x_1,\dots ,x_n)=𝐛$

ou, de forma equivalente,

$\underset{𝐱\to 𝐚}{\lim }𝐟\left(𝐱\right)=𝐛$

Derivadas direcionais

Derivada de um campo escalar em relação a um vetor

Derivadas parciais

Se derivamos a expressão anterior em relação a uma segunda variável, $x_j$, teremos $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_k}$. Na prática, calcularemos $\frac{\partial f}{\partial x_k}$ derivando em relação a $x_k$ e supondo $x_j,\mathrm{\forall }j\ne k$ constante.

A diferencial

Definição de campo escalar diferenciável

A equação anterior é a fórmula de Taylor de primeira ordem para $f(𝐚+𝐯)$.

Diferencial de um campo vetorial

Expressando ${𝐟}^{\prime }(𝐱;𝐲)$ em função de seus componentes, temos ${𝐟}^{\prime }(𝐱;𝐲)=\left[f{\text{'}}_1\right(𝐱;𝐲),\dots ,f{\text{'}}_m(𝐱;𝐲\left)\right]$

Esta é a fórmula de Taylor de primeira ordem para $𝐟.{𝐟}_L\left(𝐯\right)={𝐟}^{\prime }(𝐱;𝐯)$.

A matriz de ${𝐟}^{\prime }$ é sua matriz jacobiana.

Diferenciabilidade implica continuidade

Se deduze facilmente da fórmula de Taylor de primeira ordem já vista.

Aplicações do cálculo diferencial

Cálculo de máximos, mínimos e "pontos de sela" para campos escalares

Função com um ponto de sela.

Para saber se é um dos casos anteriores:

1. Obtemos $𝐱|\frac{\partial f}{\partial x_k}=0\mathrm{\forall }k|1⩽k⩽n$
2. Obtemos a matriz hessiana de f. Seja esta $𝐅\left(𝐱\right)$.
   1. $𝐅\left(𝐱\right)$ é definida positiva $\Rightarrow f$ tem um mínimo local (mínimo relativo) em $𝐱$.
   2. $𝐅\left(𝐱\right)$ é definida negativa $\Rightarrow f$ tem um máximo local (máximo relativo) em $𝐱$.
   3. $𝐅\left(𝐱\right)$ é indefinida $\Rightarrow f$ tem um ponto de sela em $𝐱$.

No exposto anteriormente, supomos que $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}$ é contínua $\mathrm{\forall }i,j|1⩽i⩽n,1⩽j⩽n$

Ver também

• Função diferenciável
• Campo escalar
• Campo vetorial
• Gradiente
• Divergência
• Rotacional
• Integral de linha
• Integral de superfície
• Integral múltipla
• Multiplicadores de Lagrange

• Apostol, Tom M., Calculus, volumen 2, editorial reverté, S. A., ISBN 84-291-5003-X