Notação em probabilidade e estatística

Probabilidade e Estatística têm algumas convenções comumente usadas em favor de normatizar a notação matemática e símbolos matemáticos.

Probabilidade

• Variáveis aleatórias são comumente escritas em letras maiúsculas. Por exemplo, $X$, $Y$, $Z$ etc.
• Resultados particulares de uma variável aleatória são escritos na letra minúscula correspondente. Por exemplo, $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ poderia ser uma amostra correspondente a variável aleatória $X$ e a probabilidade cumulativa é formalmente escrita $P(X>x)$ para diferenciar variável aleatória de resultado.
• A probabilidade é algumas vezes escrita $\mathbb{P}$ para distingui-la de outras funções e medidas $P$ e para evitar ter que definir "$P$ é uma probabilidade". $\mathbb{P}(A)$ é a abreviação de $P(\{\omega :X(\omega )\in A\})$, onde $\omega$ é um evento e $X(\omega )$ uma variável aleatória correspondente.
• $\mathbb{P}(A\cap B)$ ou $\mathbb{P}[A\cap B]$ indicam a probabilidade dos eventos A e B ocorrerem concomitantemente.
• $\mathbb{P}(A\cup B)$ ou $\mathbb{P}[A\cup B]$ indicam a probabilidade de ou o evento A ou o evento B ocorrerem ("ou" nesse caso significa um ou o outro ou os dois).
• σ-álgebras são usualmente escritas com letras de mão maiúsculas. Por exemplo, $ℱ$ para o conjunto de conjuntos em que nós definimos a probabilidade $P$.
• Funções densidade de probabilidade (f.d.p.) e funções massa de probabilidade são denotadas por letras minúsculas. Por exemplo, $f(x)$, $g(x)$ etc.
• Funções de distribuição acumulada (f.d.a.) são denotadas por letras maiúsculas. Por exemplo, $F(x)$, $G(x)$ etc.
• Funções de sobrevivência ou funções de distribuição acumulada complementares são frequentemente denotadas colocando uma barra acima da letra da função. Por exemplo, $\bar{F}(x)=1-F(x)$
• Em particular, a f.d.p. para a distribuição normal padrão é denotada por $\phi (z)$ e sua f.d.a. por $\mathrm{\Phi }(z)$.
• Alguns operadores comuns:
  • $E[X]$: valor esperado de $X$
  • $Var[X]$: variância de $X$
  • $Cov[X,Y]$: covariância entre $X$ e $Y$
• $X$ é independente de $Y$ é frequentemente escrito $X\perp Y$ ou $X\perp \perp Y$, e $X$ é independente de $Y$ dado $W$ é frequentemente escrito $X\perp \perp Y|W$ ou $X\perp Y|W$
• $P(A\mid B)$, a probabilidade a posteriori, é a probabilidade de $A$ dado $B$, isto é, $A$ depois $B$ é observada.

Estatística

• Letras gregas (por exemplo, θ, β etc) são comumente usadas para denotar parâmetros desconhecidos (parâmetros populacionais).
• O símbolo ~ (til) denota "tem a distribuição de probabilidade de". Por exemplo, $X$ ~ $N(0,1)$.
• Colocando um acento circunflexo em cima de um parâmetro denota um estimador desse parâmetro. Por exemplo, $\hat{\theta }$ é um estimador para $\theta$.
• A média aritmética de uma série de valores $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ é frequentemente denotada colocando uma barra acima da letra. Por exemplo, $\overline{x}$, pronunciado como "xis barra".
• Alguns símbolos comumente usados para amostras são dados abaixo:
  • A média amostral: $\overline{x}$,
  • A variância amostral: $s^2$,
  • O desvio padrão amostral: $s$,
  • O coeficiente de correlação amostral: $r$,
  • O cumulante amostral: $k_r$.
• Alguns símbolos comumente usados para parâmetros populacionais são dados abaixo:
  • A média da população: $\mu$,
  • A variância da população: ${\sigma }^2$,
  • O desvio padrão da população: $\sigma$,
  • A correlação da população: $\rho$,
  • O cumulante da população: ${\kappa }_r$.

Valores críticos

O valor crítico $\alpha$ de uma distribuição de probabilidade é o valor excedente com probabilidade $\alpha$, isto é, o valor $x_{\alpha }$ tal que $F(x_{\alpha })=1-\alpha$, onde $F$ é a função distribuição de probabilidade cumulativa. Existem notações padrões para valores críticos de algumas distribuições comuns em estatística:

• $z_{\alpha }$ ou $z(\alpha )$ para a distribuição normal padrão.
• $t_{\alpha }$ ou $t(\alpha )$ para a distribuição t-Student com $v$ graus de liberdade.
• ${{\chi }_{\alpha ,\nu }}^2$ ou ${\chi }^2(\alpha ,\nu )$ para a distribuição qui-quadrado com $v$ graus de liberdade.
• $F_{\alpha ,{\nu }_1,{\nu }_2}$ or $F(\alpha ,v_1,v_2)$ para a distribuição F com $v_1$ e $v_2$ graus de liberdade.

Álgebra Linear

• Matrizes são usualmente denotadas por uma letra maiúscula em negrito. Por exemplo, A.
• Vetores coluna são usualmente denotados por uma letra minúscula. Por exemplo, x.
• O operador transposto é denotado por um T sobrescrito (por exemplo, A^T) ou um apóstrofo (por exemplo, A′).
• Um vetor linha é escrito como o transposto de um vetor coluna. Por exemplo, x^T ou x′.

Abreviações

Abreviações comuns incluem:

• f.d.a. função distribuição acumulada
• f.m.a. função massa de probabilidade
• g.l. graus de liberdade (também $\nu$)
• i.i.d. independente e identicamente distribuída.
• f.d.p. função densidade de probabilidade
• f.m.p função massa de probabilidade
• v.a. variável aleatória