Função linear

Na matemática, o termo função linear se refere a duas noções distintas, mas relacionadas:

• No cálculo e em áreas afins, uma função linear é uma função cujo gráficoPredefinição:Ill é uma linha reta, ou seja, uma função polinomialPredefinição:Ill de grau zero ou um. Para distinguir tal função linear do outro conceito, o termo função afim é frequentemente usado.
• Na álgebra linear, na análise matemática e na análise funcional, uma função linear é um mapa linear.

Como uma função polinomial

Gráficos de duas funções lineares.

No cálculo, na geometria analítica e em áreas afins, uma função linear é um polinômio de grau um ou menor, incluindo o polinômio zeroPredefinição:Ill (este último não sendo considerado como tendo grau zero).

Quando a função é de apenas uma variável, ela é da forma

$f(x)=ax+b,$

onde Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar são constantes, frequentemente números reais. O gráficoPredefinição:Ill de tal função de uma variável é uma linha não vertical. Predefinição:Mvar é frequentemente referido como a inclinação da linha e Predefinição:Mvar como a interceptação.

Se a > 0, então o gradiente é positivo e o gráfico se inclina para cima.

Se a < 0, então o gradiente é negativo e o gráfico se inclina para baixo.

Para uma função $f(x_1,\dots ,x_k)$ de qualquer número finito de variáveis, a fórmula geral é

$f(x_1,\dots ,x_k)=b+a_1{x}_1+\cdots +a_k{x}_k,$

e o gráfico é um hiperplano de dimensão Predefinição:Nowrap.

Uma função constante também é considerada linear neste contexto, pois é um polinômio de grau zero ou é o polinômio zero. Seu gráfico, quando há apenas uma variável, é uma linha horizontal.

Nesse contexto, uma função que também é um mapa linear (o outro significado) pode ser chamada de função linear homogênea ou forma linear. No contexto da álgebra linear, as funções polinomiais de grau 0 ou 1 são os mapas afinsPredefinição:Ill de valor escalar.

Como um mapa linear

A integral de uma função é um mapa linear do espaço vetorial de funções integráveis para os números reais.

Na álgebra linear, uma função linear é um mapa f entre dois espaços vetoriais s.t.

$f(𝐱+𝐲)=f(𝐱)+f(𝐲)$

$f(a𝐱)=af(𝐱).$

Aqui Predefinição:Math denota uma constante pertencente a algum campo Predefinição:Math de escalares (por exemplo, os números reais) e Predefinição:Math e Predefinição:Math são elementos de um espaço vetorial, que pode ser o próprio Predefinição:Math.

Em outros termos, a função linear preserva a adição vetorialPredefinição:Ill e a multiplicação escalar.

Alguns autores usam "função linear" apenas para mapas lineares que assumem valores no campo escalar; estes são mais comumente chamados de formas lineares.

As "funções lineares" do cálculo se qualificam como "mapas lineares" quando (e somente quando) Predefinição:Math, ou, equivalentemente, quando a constante Predefinição:Mvar é igual a zero no polinômio de um grau acima. Geometricamente, o gráfico da função deve passar pela origem.

Ver também

• Aproximação linear
• Função homogênea
• Função linear em partes
• Interpolação linear
• Mapa linear descontínuoPredefinição:Ill

• Sistema não linear
• Mínimo de quadrados linearPredefinição:Ill

Referências

• Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear algebra (em inglês), Interscience publishers, Inc., Nova York. Reimpresso por Dover, 1989. Predefinição:Isbn
• Thomas S. Shores (2007), Applied linear algebra and matrix analysis (em inglês), Undergraduate texts in mathematics, Springer. Predefinição:Isbn
• James Stewart (2012), Calculus: Early transcendentals (em inglês), edição 7E, Brooks/Cole. Predefinição:Isbn
• Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear programming" (em inglês), em Leslie HogbenPredefinição:Ill, ed., Handbook of linear algebra (em inglês), Discrete mathematics and its applications (em inglês), Chapman and Hall/CRC, capítulo 50. Predefinição:Isbn