Alegoria (matemática)

No campo matemático da teoria das categorias, uma alegoria é uma categoria que possui parte da estrutura da categoria Rel de conjuntos e relações binárias entre eles. Alegorias podem ser usadas como uma abstração de categorias de relações, e nesse sentido, a teoria das alegorias é uma generalização da álgebra de relações para relações entre diferentes tipos. Alegorias também são úteis na definição e investigação de certas construções na teoria das categorias, como as completudes exatas.

Neste artigo, adotamos a convenção de que morfismos se compõem da direita para a esquerda, então Predefinição:Math significa "primeiro faça Predefinição:Mvar, depois faça Predefinição:Mvar".

Definição

Uma alegoria é uma categoria na qual

• cada morfismo $R:X\to Y$ está associado a uma anti-involução, ou seja, um morfismo $R^{\circ }:Y\to X$ com $R^{\circ \circ }=R$ e $(RS{)}^{\circ }=S^{\circ }{R}^{\circ }\text{;}$ e
• cada par de morfismos $R,S:X\to Y$ com domínio/codomínio comum está associado a uma interseção, ou seja, um morfismo $R\cap S:X\to Y$

todos de tal forma que

• interseções são idempotentes: $R\cap R=R,$ comutativas: $R\cap S=S\cap R,$ e associativas: $(R\cap S)\cap T=R\cap (S\cap T);$
• anti-involução distribui sobre interseção: $(R\cap S{)}^{\circ }=R^{\circ }\cap S^{\circ };$
• composição é semi-distributiva sobre interseção: $R(S\cap T)\subseteq RS\cap RT$ e $(R\cap S)T\subseteq RT\cap ST;$ e
• a lei da modularidade é satisfeita: $RS\cap T\subseteq (R\cap T{S}^{\circ })S.$

Aqui, estamos abreviando usando a ordem definida pela interseção: $R\subseteq S$ significa $R=R\cap S.$

Um primeiro exemplo de uma alegoria é a categoria de conjuntos e relações. Os objetos desta alegoria são conjuntos, e um morfismo $X\to Y$ é uma relação binária entre Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar. A composição de morfismos é composição de relações, e a anti-involução de $R$ é a relação inversa $R^{\circ }$: $y{R}^{\circ }x$ se e somente se $xRy$. Interseção de morfismos é (teórica de conjuntos) interseção de relações.

Categorias Regulares e Alegorias

Alegorias de relações em categorias regulares

Em uma categoria Predefinição:Mvar, uma relação entre objetos Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar é um span de morfismos $X\leftarrow R\to Y$ que é conjuntamente monomórfico. Dois spans como $X\leftarrow S\to Y$ e $X\leftarrow T\to Y$ são considerados equivalentes quando há um isomorfismo entre Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar que faz tudo comutar; falando estritamente, relações são definidas apenas até a equivalência (pode-se formalizar isso usando classes de equivalência ou bicategorias). Se a categoria Predefinição:Mvar possui produtos, uma relação entre Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar é a mesma coisa que um monomorfismo em Predefinição:Math (ou uma classe de equivalência de tal). Na presença de pullbacks e um sistema de fatorização apropriado, pode-se definir a composição de relações. A composição $X\leftarrow R\to Y\leftarrow S\to Z$ é encontrada primeiro puxando o cospan $R\to Y\leftarrow S$ e depois tomando a imagem conjuntamente monomórfica do span resultante $X\leftarrow R\leftarrow \bullet \to S\to Z.$

A composição de relações será associativa se o sistema de fatorização for apropriadamente estável. Neste caso, pode-se considerar uma categoria Predefinição:Math, com os mesmos objetos que Predefinição:Mvar, mas onde morfismos são relações entre os objetos. As relações identidade são as diagonais $X\to X\times X.$

Uma categoria regular (uma categoria com limites finitos e imagens nas quais as coberturas são estáveis sob pullback) possui um sistema de fatorização regular epi/mono estável. A categoria de relações para uma categoria regular é sempre uma alegoria. A anti-involução é definida invertendo a fonte/destino da relação, e as interseções são interseções de subobjetos, calculadas por pullback.

Mapas em alegorias e tabulações

Um morfismo Predefinição:Mvar em uma alegoria Predefinição:Mvar é chamado de mapa se for completo $(1\subseteq R^{\circ }R)$ e determinístico $(R{R}^{\circ }\subseteq 1).$ Outra maneira de dizer isso é que um mapa é um morfismo que tem um adjunto à direita em Predefinição:Mvar quando Predefinição:Mvar é considerado, usando a estrutura de ordem local, como uma 2-categoria. Mapas em uma alegoria são fechados sob identidade e composição. Assim, existe uma subcategoria Predefinição:Math de Predefinição:Mvar com os mesmos objetos, mas apenas os mapas como morfismos. Para uma categoria regular Predefinição:Mvar, existe um isomorfismo de categorias $C\cong \mathrm{Map}(\mathrm{Rel}(C)).$ Em particular, um morfismo em Predefinição:Math é apenas uma função de conjunto set function comum.

Em uma alegoria, um morfismo $R:X\to Y$ é tabulado por um par de mapas $f:Z\to X$ e $g:Z\to Y$ se $g{f}^{\circ }=R$ e $f^{\circ }f\cap g^{\circ }g=1.$ Uma alegoria é chamada de tabular se todo morfismo tiver uma tabulação. Para uma categoria regular Predefinição:Mvar, a alegoria Predefinição:Math é sempre tabular. Por outro lado, para qualquer alegoria tabular Predefinição:Mvar, a categoria Predefinição:Math de mapas é uma categoria localmente regular: possui pullbacks, equalizadores, e imagens que são estáveis sob pullback. Isso é suficiente para estudar relações em Predefinição:Math, e nesse contexto, $A\cong \mathrm{Rel}(\mathrm{Map}(A)).$

Alegorias Unitais e Categorias Regulares de Mapas

Uma unidade em uma alegoria é um objeto Predefinição:Mvar para o qual a identidade é o maior morfismo $U\to U,$ e tal que de todo outro objeto, existe uma relação completa para Predefinição:Mvar. Uma alegoria com uma unidade é chamada de unital. Dada uma alegoria tabular Predefinição:Mvar, a categoria Predefinição:Math é uma categoria regular (ela tem um objeto terminal) se e somente se Predefinição:Mvar é unital.

Tipos Mais Sofisticados de Alegoria

Propriedades adicionais de alegorias podem ser axiomatizadas. Alegorias Distributivas têm uma operação semelhante à união que é adequadamente bem-comportada, e alegorias de divisão têm uma generalização da operação de divisão da álgebra de relações. Alegorias de Potência são alegorias distributivas de divisão com estrutura adicional semelhante a conjunto das partes. A conexão entre alegorias e categorias regulares pode ser desenvolvida em uma conexão entre alegorias de potência e toposes.

Bibliografia

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