Curvas duplas

Curvas, duplas entre si; veja abaixo as propriedades .

Na geometria projetiva, uma curva dupla de uma dada curva plana Predefinição:Mvar é uma curva no plano projetivo duplo que consiste no conjunto de linhas tangentes a Predefinição:Mvar. Se Predefinição:Mvar é algébrico, então é o seu dual e o grau do dual é conhecido como a classe da curva original. A equação do dual de Predefinição:Mvar, dada em coordenadas de linha, é conhecida como equação tangencial de Predefinição:Mvar

A construção da curva dupla é a base geométrica da transformação de Legendre no contexto da mecânica hamiltoniana .

Equações

Seja Predefinição:Math a equação de uma curva em coordenadas homogêneas . Seja Predefinição:Math a equação de uma linha, com Predefinição:Math sendo designadas como coordenadas de linha . A condição de que a linha é tangente à curva pode ser expressa na forma Predefinição:Math que é a equação tangencial da curva.

Seja Predefinição:Math o ponto da curva, então a equação da tangente nesse ponto é dada por:

$x\frac{\partial f}{\partial x}(p,q,r)+y\frac{\partial f}{\partial y}(p,q,r)+z\frac{\partial f}{\partial z}(p,q,r)=0.$

Então Predefinição:Math é uma tangente à curva se

$\begin{array}{cc}X& =\lambda \frac{\partial f}{\partial x}(p,q,r),\\ Y& =\lambda \frac{\partial f}{\partial y}(p,q,r),\\ Z& =\lambda \frac{\partial f}{\partial z}(p,q,r).\end{array}$

A eliminação de Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar dessas equações, juntamente com Predefinição:Math, fornece a equação em Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar da curva dupla. Ficheiro:Dual.webm Por exemplo, seja Predefinição:Mvar o Predefinição:Math cônico Predefinição:Math . Então, dual é encontrado eliminando Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar Predefinição:Mvar das equações:

$\begin{array}{cc}X& =2\lambda ap,\\ Y& =2\lambda bq,\\ Z& =2\lambda cr,\end{array}Xp+Yq+Zr=0.$

As três primeiras equações são facilmente resolvidas para Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar, e a substituição na última equação produz

$\frac{X^2}{2\lambda a}+\frac{Y^2}{2\lambda b}+\frac{Z^2}{2\lambda c}=0.$

Retirando Predefinição:Math dos denominadores, a equação do dual é

$\frac{X^2}{a}+\frac{Y^2}{b}+\frac{Z^2}{c}=0.$

Para uma curva definida de forma parametrica, sua curva dupla é definida pelas seguintes equações paramétricas :

$\begin{array}{cc}X& =\frac{y^{\prime }}{y{x}^{\prime }-x{y}^{\prime }}\\ Y& =\frac{x^{\prime }}{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}\end{array}$

O dual de um ponto de inflexão dará uma cúspide e dois pontos que compartilham a mesma linha tangente darão um ponto de auto interseção no dual.

Grau

Se Predefinição:Mvar é uma curva algébrica do plano, o grau do dual é o número de pontos de interseção com uma linha no plano dual. Como uma linha no plano dual corresponde a um ponto no plano, o grau do dual é o número de tangentes ao Predefinição:Mvar que podem ser traçadas através de um determinado ponto. Os pontos em que essas tangentes tocam a curva são os pontos de interseção entre a curva e a curva polar em relação ao ponto especificado. Se o grau da curva é Predefinição:Mvar, o grau da polar é Predefinição:Math e, portanto, o número de tangentes que podem ser traçadas através do ponto especificado é no máximo Predefinição:Math .

A dupla de uma linha (uma curva de grau 1) é uma exceção a isso e é considerada um ponto no espaço dual (a saber, a linha original). O dual de um único ponto é considerado a coleção de linhas através do ponto; isso forma uma linha no espaço duplo que corresponde ao ponto original.

Se Predefinição:Mvar é suave, ou seja, não há pontos singulares, então o dual de Predefinição:Mvar tem o grau máximo Predefinição:Math . Se Predefinição:Mvar é uma cônica, isso implica que sua dupla também é uma cônica. Isso também pode ser visto geometricamente: o mapa de uma cônica para sua dupla é Função Bijetora ( uma vez que nenhuma linha é tangente a dois pontos de uma cônica, pois isso requer grau   4), e a linha tangente varia suavemente (como a curva é convexa, então a inclinação da linha tangente muda de forma monotônica: as cúspides na dupla requerem um ponto de inflexão na curva original, o que requer graus   3)

Para curvas com pontos singulares, esses pontos também estarão na interseção da curva e sua polar e isso reduz o número de possíveis linhas tangentes. O grau da dupla dadas em termos de o d e o número e tipos de pontos singulares de Predefinição:Mvar é uma das fórmulas Plücker .

Polar recíproco

O dual pode ser visualizado como um lugar geométrico no plano na forma do recíproco polar . Isso é definido com referência a um Predefinição:Mvar cônico fixo como o local dos polos das linhas tangentes da curva Predefinição:Mvar O Predefinição:Mvar cônico é quase sempre considerado um círculo e, neste caso, o inverso polar é o inverso do pedal de Predefinição:Mvar

Propriedades da curva dupla

As propriedades da curva original correspondem a propriedades duplas na curva dupla. Na imagem à direita, a curva vermelha possui três singularidades - um nó no centro e duas cúspides na parte inferior direita e na parte inferior esquerda. A curva preta não possui singularidades, mas possui quatro pontos distintos: os dois pontos superiores têm a mesma linha tangente (uma linha horizontal), enquanto há dois pontos de inflexão na curva superior. Os dois pontos mais altos correspondem ao nó (ponto duplo), pois ambos têm a mesma linha tangente, portanto, mapeiam para o mesmo ponto na curva dupla, enquanto os pontos de inflexão correspondem às cúspides, correspondendo primeiro às linhas tangentes indo para um lado, depois para o outro (subindo a inclinação, depois diminuindo).

Por outro lado, em uma curva suave e convexa, o ângulo da linha tangente muda de forma monótica, e a curva dupla resultante também é suave e convexa.

Além disso, ambas as curvas têm uma simetria reflexiva, correspondendo ao fato de que as simetrias de um espaço projetivo correspondem às simetrias do espaço duplo e que a dualidade de curvas é preservada por isso, de modo que as curvas duplas têm o mesmo grupo de simetria. Nesse caso, ambas as simetrias são realizadas como uma reflexão esquerda-direita; este é um artefato de como o espaço e o espaço duplo foram identificados - em geral, são simetrias de diferentes espaços.

Generalizações

Dimensões mais altas

Da mesma forma, generalizando para dimensões mais altas, dada uma hipersuperfície, o espaço tangente em cada ponto fornece uma família de hiperplanos e, assim, define uma hipersuperfície dupla no espaço dual. Para qualquer subvariedade fechada Predefinição:Mvar em um espaço projetivo, o conjunto de todos os hiperplanos tangentes a algum ponto de Predefinição:Mvar é uma subvariedade fechada da dupla do espaço projetivo, denominada variedade dupla de Predefinição:Mvar

Exemplos

• Se Predefinição:Mvar é uma hipersuperfície definida por um polinômio homogêneo Predefinição:Math, a dupla variedade de Predefinição:Mvar é a imagem de Predefinição:Mvar pelo mapa de gradiente

$x=(x_0,\dots ,x_n)\mapsto (\frac{\partial F}{\partial x_0}(x),\dots ,\frac{\partial F}{\partial x_n}(x))$

que pousa no espaço projetivo duplo.

• A variedade dupla de um ponto Predefinição:Math é o hiperplano

$a_0{x}_0+\dots +a_n{x}_n=0.$

Polígono duplo

A construção da curva dupla funciona mesmo que a curva seja linear por partes (ou diferenciável por partes), mas o mapa resultante é degenerado (se houver componentes lineares) ou mal definido (se houver pontos singulares).

No caso de um polígono, todos os pontos em cada aresta compartilham a mesma linha tangente e, portanto, são mapeados para o mesmo vértice do dual, enquanto a linha tangente de um vértice é mal definida e pode ser interpretada como todas as linhas que passam através dele com ângulo entre as duas arestas. Isso está de acordo com a dualidade projetiva (as linhas são mapeadas para pontos e as linhas), e com o limite de curvas suaves sem componente linear: como uma curva se achata em uma aresta, suas linhas tangentes são mapeadas para pontos cada vez mais próximos; quando uma curva se afia em um vértice, suas linhas tangentes se afastam ainda mais.

Veja também

• Polígono duplo
• Transformação Hough
• Mapa de Gauss

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