Transformada de Legendre

A transformada de Legendre consiste em uma transformação matemática que, quando aplicada sobre uma função $Y=Y_{(X_0,X_1,X_2,...X_n)}$ sabidamente diferenciável em relação às suas variáveis independentes $x_i$ , fornece como resultado uma nova equação na qual as derivadas parciais $P_i=\frac{\partial Y_{(X_0,X_1,...X_n)}}{\partial x_i}$ associadas, e não as variáveis $x_i$ em si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita", $\mathrm{\Psi }={\mathrm{\Psi }}_{(P_0,P_1,P_2,...P_n)}$. A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação.

A Transformada de Legendre e a Termodinâmica

A Transformada de Legendre encontra enorme aplicação em uma área da Física conhecida por Termodinâmica, área que tem por objetivo o estudo dos sistemas constituídos por "infinitos" entes físicos, moléculas em uma amostra confinada de gás, a exemplo.

Equação fundamental e Equação de estado

Em termodinâmica, cada sistema em estudo é descrito por uma equação matemática conhecida por equação fundamental, uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema no equilíbrio termodinâmico encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviamente calculáveis a partir destas.

As informações físicas, quando necessárias, podem ser extraídas da equação fundamental empregando-se um formalismo matemático inerente ao estudo da termodinâmica. A exemplo, para sistemas simples, no formalismo da entropia, a equação fundamental para a entropia S em um gás ideal será dependente das grandezas volume (V), número de partículas (e não de moles) N, e da Energia Interna U: $S=S_{(U,V,N)}$. No formalismo da energia, isolando-se a energia interna U em $S_{(U,V,N)}$ tem-se facilmente $U_{(S,V,N)}$, também uma equação fundamental. Qualquer informação física, incluindo-se as equações de estado, a exemplo a equação de Clapeyron $PV=NRT$ e a equação da energia $U=\frac{n}{2}{K}_{b}T$ (n= 3; 5; ... ) para o caso dos gases ideais, pode ser facilmente extraídas da equação fundamental.

Repare que as duas equações anteriores, a de Clapeyron $P_{(V,T,N)}$ e a da energia $U=U_{(T)}$, em função das grandezas tomadas como independentes, são equações de estado e não equações fundamentais do sistema, e portanto não retém em si, quando isoladas, todas as informações necessárias à determinação de todas as propriedades físicas do sistema. Caso conheçam-se as equações de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequência - mediante transformadas de Legendre - todas as equações fundamentais do sistema, mas para isto é necessário que conheçam-se de antemão todas as equações de estado do sistema, sem ausência de nenhuma delas. A título de curiosidade a equação fundamental para um sistema composto por N partículas de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação entrópica, com $k_B$ representando a constante de Boltzman e c uma constante, e a menos de constante(s) acompanhando a grandeza N com unidade(s) definida(s) de forma a tornar correta a análise dimensional, não explicitamente indicadas aqui:

$S_{(U,V,N)}=\frac{3}{2}N{k}_B\ln \left(\frac{U}{N}\right)+N{k}_B\ln \left(\frac{V}{N}\right)+N{k}_{B}c$

Isolando-se U, tem-se, na representação da energia:

$U_{(S,V,N)}=N{\left(\frac{N}{V}\right)}^{\frac{2}{3}}{e}^{\frac{2}{3}(\frac{S}{N{k}_B}-c)}$

Verifica-se experimentalmente, entretanto, que as grandezas intensivas como a pressão $P$ , temperatura $T$, e potencial químico $\mu$ ( onde $P=-\frac{\partial U_{(S,V,N)}}{\partial V}$ , $\mu =\frac{\partial U_{(S,V,N)}}{\partial N}$ e $T=\frac{\partial U_{(S,V,N)}}{\partial S}$ no formalismo termodinâmico da energia) são muito mais acessíveis por medidas experimentais do que as grandezas extensivas como o volume V, entropia S e número de partículas N. Seria portanto extremamente conveniente, em acordo com a situação, principalmente em situações onde uma ou mais destas permaneçam constantes, que a equação fundamental pudesse ser reescrita, sem perda de informação, em função destas grandezas intensivas.

Representações no Formalismo da Energia

A Transformada de Legendre cumpre exatamente o papel na termodinâmica de permitir que se escreva a equação fundamental de um sistema em função das grandezas intensivas (e/ou extensivas) associadas, e não apenas em função das correspondentes extensivas. Em acordo com a grandeza extensiva "transformada" para a intensiva a ela conjugada, dentro do formalismo da energia, a exemplo, surgem várias representações possíveis para a equação fundamental, a saber:

• A energia interna U, onde $U=U_{(S,V,N)}$ : a representação padrão no formalismo da energia.

• A energia livre de Helmholtz F, onde $F=F_{(T,V,N)}$: decorre da substituição da grandeza extensiva S em $U=U_{(S,V,N)}$ pela correspondente grandeza conjugada, T, mediante F= U-TS , sendo $F=F_{(T,V,N)}$ "mais adequada" para o estudo das transformações isotérmicas.

• A entalpia H, onde $H=H_{(S,P,N)}$: decorre da substituição da grandeza extensiva V em $U=U_{(S,V,N)}$ pela correspondente intensiva, P, mediante H= U+PV , sendo $H=H_{(S,P,N)}$ "mais adequada" para o estudo das transformações isobáricas.

• A energia livre de Gibbs G, onde $G=G_{(T,P,N)}$: decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e da grandeza extensiva V pela correspondente grandeza conjugada P em $U=U_{(S,V,N)}$, mediante G= U-TS+PV , sendo $G=G_{(T,P,N)}$ "mais adequada" para o estudo de processos que ocorrem à temperatura e pressão constantes.

• O grande potencial canônico, $C=C_{(T,V,{\mu }_1,{\mu }_2...)}$, decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e das grandezas extensivas $N_i$ pelas correspondentes intensivas ${\mu }_i$ em $U=U_{(S,V,N_1,N_2...)}$, mediante $C=U-TS-\mathrm{\Sigma }{\mu }_i{N}_i$ , sendo $C=C_{(T,V,...,{\mu }_i)}$ "mais adequada" para o estudo de processos onde ocorrem várias substâncias misturadas (N_1, N_2,...) e, mesmo em caso de substância única, trocas de partículas à temperatura constante.

Em função da entropia S ser sempre uma função monótona crescente da energia interna U, a equação fundamental fundamental $U=U_{(S,V,N)}$ pode sempre ser "facilmente" reescrita, mediante troca de variáveis, para fornecer a equação, também fundamental, $S=S_{(U,V,N)}$, o que, de forma similar ao feito para o formalismo da energia, dá origem ao que se conhece por formalismo termodinâmico da entropia (ou entrópico), igualmente aplicável ao estudo dos sistemas termodinâmicos e capaz de fornecer os mesmos resultados e informações antes obtidos no formalismo da energia. Transformadas de Legendre podem ser igualmente aplicadas à equação fundamental $S=S_{(U,V,N)}$ em acordo com o caso em estudo, fornecendo equações fundamentais que nem sempre recebem nomes especiais, sendo estas genericamente conhecidas por funções de Massieu. No formalismo da energia, a energia interna $U_{(S,V,N)}$ e suas transformadas são geralmente conhecidas por potenciais termodinâmicos.

A transformada de Legendre

Descrição

O gráfico de uma função, e de sua reta tangente, com inclinação $f{\text{'}}_{(x)}=P_{(x)}=\frac{\partial f_{(x)}}{\partial x}$ no ponto x.

Há duas formas de se especificar a curva vista em vermelho na figura: fornecendo-se diretamente a relação entre Y e X (a exemplo Y=X²), ou especificando-se o conjunto de retas a ela tangentes - vistas em azul na figura. Para definir-se este conjunto de retas especifica-se a relação existente entre o interceptos $\mathrm{\Psi }$ e as inclinações P das respectivas retas: $\mathrm{\Psi }=-P^2/4$ no exemplo. A transformada de Legendre,quando aplicada a uma das equações, fornece a outra (ou, ao rigor da matemática, menos a outra: $\mathrm{\Psi }=+P^2/4$).

Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretação geométrica da Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma função $Y_{(X)}$ dependente de apenas uma variável independente, X.

Sendo $P=\frac{\partial Y_{(X)}}{\partial x}=\frac{d{Y}_{(X)}}{dx}$ no presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma função $Y_{(P)}$ onde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X em $Y_{(X)}$ mediante a relação estabelecida entre P e X por $P=\frac{d{Y}_{(X)}}{dx}$. Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido $Y_{(P)}$, não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial $Y_{(X)}$. Na transformação proposta a informação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicial $Y_{(X)}$ é preservada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não. Assim, apesar de ser possível se reconstruir o "formato" da curva inicial $Y_{(X)}$ partindo-se de $Y_{(P)}$, a determinação da distância exata desta curva ao eixo coordenado Y no gráfico não será possível, podendo a curva que se obtém da reconstrução transladar livremente na horizontal; a informação da posição correta desta se perde na transformação inicial, conforme proposta.

A solução para o problema deve ser obtida partindo-se da observação de que qualquer equação $Y_{(P)}$ que permita construir a família de retas tangentes a uma dada curva - e não apenas conhecer a inclinação de cada reta tangente em questão - automaticamente determina a própria curva de forma tão boa quanto o faz a equação $Y_{(X)}$ da curva.

Para tal, considere a reta tangente à curva $Y_{(X)}$ no ponto específico (X,Y) cuja inclinação é P (ver figura). É possível identificar o ponto $\psi$ onde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que, da definição de inclinação de uma reta:

$P=\frac{\mathrm{\Delta }Y}{\mathrm{\Delta }X}=\frac{Y-\psi }{X-0}$

donde tem-se

$\psi =Y-PX$

Como as expressões $Y_{(X)}$ e $P=P_{(X)}$ são conhecidas, uma simples álgebra matemática permite a eliminação de X e Y em favor de P e $\psi$ na equação acima, o que fornece a procurada relação $\psi ={\psi }_{(P)}$. Esta relação claramente permite a reconstrução de cada uma das retas tangentes com precisão, pois fornecendo-se o valor da inclinação P de uma delas, sabe-se com clareza, então, o ponto $\psi$ onde esta reta deve interceptar o eixo Y.

Para recuperar-se a equação original $Y_{(X)}$ partindo-se da equação ${\psi }_{(P)}$, basta considerar que a Transformada de Legendre é simétrica, exceto por um sinal de menos na equação de transformação, à sua inversa. Assim, à parte um sinal de menos a se considerar, sendo T a transformação de Legendre, aplicá-la duas vezes em sequência fornecerá a mesma função inicial (T² = 1).

Em resumo tem-se:

A transformada de Legendre: $Y_{(X)}<->{\psi }_{(P)}$

$Y=Y_{(X)}$	$\mathrm{\Psi }={\mathrm{\Psi }}_{(P)}$
$P=\frac{\partial Y_{(X)}}{\partial X}$	$-X=\frac{\partial {\psi }_{(P)}}{\partial P}$
Determinar $X=X_{(P)}$ e $Y=Y_{(P)}$	Determinar $P=P_{(X)}$ e $\mathrm{\Psi }={\mathrm{\Psi }}_{(X)}$
$\mathrm{\Psi }=-PX+Y$	$Y=XP+\mathrm{\Psi }$
Eliminação de X e Y fornece $\mathrm{\Psi }={\mathrm{\Psi }}_{(P)}$	Eliminação de P e $\mathrm{\Psi }$ fornece $Y=Y_{(X)}$
$\mathrm{\Psi }={\mathrm{\Psi }}_{(P)}$	$Y=Y_{(X)}$

Ao rigor da Matemática

Definições

Em matemática, a Transformada de Legendre, em homenagem a Adrien-Marie Legendre, é uma operação que transforma uma função real de variáveis reais em outra. A transformada de Legendre de uma função ƒ é a função ƒ^∗ definida por:

$f^{\star }(p)=\underset{x}{\max }(px-f(x)).$

Se ƒ é diferenciável, então ƒ^∗(p) pode ser interpretado como o negativo do intercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de ƒ. Em particular, para o valor de x associado ao máximo anterior tem-se a propriedade:

$f^{\prime }(x)=p.$

Isto é, a derivada da função ƒ torna-se o argumento da função ƒ^∗. Em particular, se ƒ é convexa (ou côncava para cima), então ƒ^∗ satisfaz a definição de um funcional.

$f^{\star }(f^{\prime }(x))=x{f}^{\prime }(x)-f(x).$

A Transformada de Legendre é sua própria inversa. Da mesma forma que as transformadas integrais, a Transformada de Legendre pega uma função ƒ(x) e fornece uma função de uma variável diferente p. Entretanto, enquanto as transformadas integrais consistem em integrais com um núcleo, a transformada Legendre usa o processo de maximização como processo de transformação. A transformada de Legendre é especialmente "bem-comportada" se ƒ(x) é uma função convexa.

A Transformada de Legendre é uma aplicação da relação de dualidade entre pontos e linhas. A função especificada por f(x) pode ser igualmente bem representada pelo conjunto de pontos (x, y), ou pelo conjunto de retas tangentes especificadas pelos valores de suas inclinações e pelos seus correspondentes interceptos no eixo coordenado Y.

A transformada de Legendre pode ser generalizada para fornecer a Transformada de Legendre-Fenchel.

A definição de Transformada de Legendre pode ser mais explícita. Para maximizar $px-f(x)$ em relação a $x$, faz-se a sua derivada igual a zero:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(px-f(x))=p-\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=0.(1)$

Então a expressão é maximizada quando:

$p=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}.(2)$

Quando $f$ é convexa, isto é seguramente um máximo porque a segunda derivada é negativa:

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}(xp-f(x))=-\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x)}{\mathrm{d}{x}^2}<0,$

Em um próximo passo inverte-se (2) para obter-se $x$ como função de $p$ e leva-se o resultado (1) , o que fornece uma forma mais prática para o uso,

$f^{\star }(p)=px(p)-f(x(p)).$

Esta definição fornece o processo convencional para se calcular a transformada de Legendre de $f(x)$: encontre $p=\frac{df}{dx}$, inverta para $x$ e substitua o resultado em $xp-f(x)$. Esta definição torna clara a seguinte interpretação: a Transformada de Legendre produz uma nova função, na qual a variável independente $x$ é substituída por $p=\frac{df}{dx}$, o qual é a derivada da função original em respeito a $x$.

Consideração importante

Há ainda uma terceira definição para Transformada de Legendre: $f$ e $f^{\star }$ são ditas transformadas de Legendre uma da outra se suas primeiras derivadas são funções inversas uma da outra:

$Df={\left(D{f}^{\star }\right)}^{-1}.$

Pode-se ver isto através do cálculo da derivada de $f^{\star }$:

$\frac{d{f}^{\star }(p)}{dp}=\frac{d}{dp}(xp-f(x))=x+p\frac{dx}{dp}-\frac{df}{dx}\frac{dx}{dp}=x.$

Combinando-se esta equação com a condição de maximização ter-se-á como resultado o seguinte par de equações recíprocas:

$p=\frac{df}{dx}(x),$

$x=\frac{d{f}^{\star }}{dp}(p).$

Vê-se que $Df$ e $D{f}^{\star }$ são inversas, conforme prometido. Elas são unívocas a menos de uma constante aditiva que é fixada pelo requerimento adicional de que:

$f(x)+f^{\star }(p)=xp.$

embora em alguns casos, a exemplo explicito, na termodinâmica e mecânica clássica, um requerimento não padronizado seja utilizado:

$f(x)-f^{\star }(p)=xp.$

O último requisito foi o utilizado em todas as demais seções deste artigo, embora o rigor matemático solicite o primeiro: ao rigor da matemática a Transformada de Legendre é exatamente a sua própria inversa, e encontra-se assim diretamente relacionada à Integração por partes.

Exemplos

Com uma variável

A exemplo, aplicar-se-á a transformada de Legendre à função $Y_{(X)}=X^2$

Tem-se, seguindo-se os passos da tabela anterior:

Da linha 2:

$P=\frac{\partial Y_{(X)}}{\partial X}=2X$

Logo, para a linha 3: $X=\frac{p}{2}$

e $Y=X^2={\left(\frac{p}{2}\right)}^2$

Da linha 4: $\mathrm{\Psi }=-PX+Y$

Eliminando-se X e Y:

$\mathrm{\Psi }=-P\left(\frac{P}{2}\right)+{\left(\frac{P}{2}\right)}^2$

resulta em:

$\mathrm{\Psi }=\frac{-P^2}{4}$

Assim, a Transformada de Legendre para $Y_{(X)}=X^2$ é ${\mathrm{\Psi }}_{(P)}=\frac{-P^2}{4}$

A transformação inversa ficará a cargo do leitor.

Com duas ou mais variáveis

A título de ilustração calcular-se-á a energia livre de Helmholtz $F_{(T,V,N)}$ para um gás ideal partindo-se da equação fundamental para a energia interna $U_{(S,V,N)}$.

Conforme antes apresentado (e mantidas as mesmas ressalvas), para um gás monoatômico ideal constituído por N partículas confinadas em um volume V e com uma entropia interna S:

$U_{(S,V,N)}=N{\left(\frac{N}{V}\right)}^{\frac{2}{3}}{e}^{\frac{2}{3}(\frac{S}{N{k}_B}-c)}$

da qual busca-se a energia de Helmholtz F, a ser calculada como:

$F=U-TS$

mediante substituição da variável S pela sua respectiva conjugada, T.

Pelo formalismo termodinâmico tem-se que:

$T={\left(\frac{\partial U_{(S,V,N)}}{\partial S}\right)}_{V,N}$

onde os índices V e N enfatizam que as grandezas volume V e quantidade de partículas N devem ser tratadas como constantes na derivada parcial. Procedendo-se o cálculo da derivada ter-se-á:

$T={\left(\frac{\partial U_{(S,V,N)}}{\partial S}\right)}_{V,N}=\frac{2}{3k_B}{\left(\frac{N}{V}\right)}^{\frac{2}{3}}{e}^{\frac{2}{3}(\frac{S}{N{k}_B}-c)}$

Isolando-se a entropia como função da temperatura e demais grandezas ter-se-á:

$S=\frac{3N{k}_B}{2}\ln \left[\frac{3}{2}{k}_{B}T{\left(\frac{V}{N}\right)}^{\frac{2}{3}}\right]+cN{k}_B$

a ser substituída em

$F=U-TS=N{\left(\frac{N}{V}\right)}^{\frac{2}{3}}{e}^{\frac{2}{3}(\frac{S}{N{k}_B}-c)}-TS$

o que resulta em:

$F=N{\left(\frac{N}{V}\right)}^{\frac{2}{3}}{e}^{\frac{2}{3}(\frac{\frac{3N{k}_B}{2}\ln \left[\frac{3}{2}{k}_{B}T{\left(\frac{V}{N}\right)}^{\frac{2}{3}}\right]+cN{k}_B}{N{k}_B}-c)}-T(\frac{3N{k}_B}{2}\ln \left[\frac{3}{2}{k}_{B}T{\left(\frac{V}{N}\right)}^{\frac{2}{3}}\right]+cN{k}_B)$

Uma simples inspeção na equação anterior, mesmo sem simplificá-la, permite a conclusão de que a função F já encontra-se dependente apenas das variáveis T, V e N, conforme pretendido.

Procendo com os cálculos, ter-se-á:

$F=N{\left(\frac{N}{V}\right)}^{\frac{2}{3}}\cdot \frac{3}{2}{k}_{B}T{\left(\frac{V}{N}\right)}^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{2}N{k}_{B}T\ln \left[\frac{3}{2}{k}_{B}T{\left(\frac{V}{N}\right)}^{\frac{2}{3}}\right]-cN{k}_{B}T$

o que, com mais algumas simplificações, resulta em:

$F_{(T,V,N)}=N{k}_{B}T\ln \left(\frac{N}{V}\right)-\frac{3}{2}N{k}_{B}T\ln \left(\frac{3k_{B}T}{2}\right)+N{k}_{B}T(\frac{3}{2}-c)$

que é a Energia Livre de Helmholtz para um gás ideal, uma equação fundamental com exatamente as mesmas informações contidas na equação original para a energia interna.

Novamente termodinâmica, e mecânica clássica

Termodinâmica: tabelas de transformadas

No contexto da termodinâmica, dentre todas as possíveis transformadas de Legendre, as seguintes são particularmente muito frequêntes e importantes:

Transformadas de Legendre na Termodinâmica - Formalismo da Energia - Partindo-se de $U_{(S,V,N)}$ tem-se:

$U=U_{(S,V,N_1,N_2...)}$	$U=U_{(S,V,N_1,N_2...)}$	$H=H_{(S,P,N_1,N_2...)}$	$F=F_{(T,V,N_1,N_2...)}$
$T=\frac{\partial U_{(S,V,N_1,N_2...)}}{\partial S}$	$-P=\frac{\partial U_{(S,V,N_1,N_2...)}}{\partial V}$	$T=\frac{\partial H_{(S,P,N_1,N_2...)}}{\partial S}$	${\mu }_i=\frac{\partial F_{(T,V,N_1,N_2...)}}{\partial N_i}$
Determinar $S=S_{(T,V,N_1,N_2...)}$ e $U=U_{(T,V,N_1,N_2...)}$	Determinar $V=V_{(S,P,N_1,N_2...)}$ e $U=U_{(S,P,N_1,N_2...)}$	Determinar $S=S_{(T,P,N_1,N_2...)}$ e $H=H_{(T,P,N_1,N_2...)}$	Determinar $F=F_{(T,V,{\mu }_1,{\mu }_2...)}$ e $N_i=N_{i(T,V,{\mu }_1,{\mu }_2...)}$
$F=U-TS$	$H=U+PV$	$G=H-TS$	$C=F-\mathrm{\Sigma }{\mu }_i{N}_i$
Eliminação de U e S fornece:	Eliminação de U e V fornece:	Eliminação de H e S fornece:	Eliminação de F e $N_i$ fornece:
Energia Livre de Helmholtz F	Entalpia H	Energia livre de Gibbs G	Grande Potencial Canônico C
$F=F_{(T,V,N_1,N_2...)}$	$H=H_{(S,P,N_1,N_2...)}$	$G=G_{(T,P,N_1,N_2...)}$	$C=C_{(T,V,{\mu }_1,{\mu }_2...)}$

Transformadas de Legendre em Termodinâmica - Formalismo da Energia - Para chegar-se a $U_{(S,V,N)}$ tem-se:

$F=F_{(T,V,N_1,N_2...)}$	$H=H_{(S,P,N_1,N_2...)}$	$G=G_{(T,P,N_1,N_2...)}$	$C=C_{(T,V,{\mu }_1,{\mu }_2...)}$
$-S=\frac{\partial F_{(T,V,N_1,N_2...)}}{\partial T}$	$V=\frac{\partial H_{(S,P,N_1,N_2...)}}{\partial P}$	$-S=\frac{\partial G_{(T,P,N_1,N_2...)}}{\partial T}$	$-N_i=\frac{\partial C_{(T,V,{\mu }_1,{\mu }_2...)}}{\partial {\mu }_i}$
Determinar $T=T_{(S,V,N_1,N_2...)}$ e $F=F_{(S,V,N_1,N_2...)}$	Determinar $P=P_{(S,V,N_1,N_2...)}$ e $H=H_{(S,P,N_1,N_2...)}$	Determinar $G=G_{(S,P,N_1,N_2...)}$ e $T=T_{(S,P,N_1,N_2...)}$	Determinar $C=C_{(T,V,N_1,N_2...)}$ e ${\mu }_i={\mu }_{i(T,V,N_1,N_2...)}$
$U=F+TS$	$U=H-PV$	$H=G+TS$	$F=F+\mathrm{\Sigma }\mu N_i$
Eliminação de T e F fornece:	Eliminação de P e H fornece:	Eliminação de G e T fornece:	Eliminação de C e ${\mu }_i$ fornece:
Energia Interna U	Energia Interna U	Entalpia H	Energia Livre de Helmhotz F
$U=U_{(S,V,N_1,N_2...)}$	$U=U_{(S,V,N_1,N_2...)}$	$H=H_{(S,P,N_1,N_2...)}$	$F=F_{(T,V,N_1,N_2...)}$

Lagrangianas e Hamiltonianos

No contexto da mecânica clássica o princípio de Lagrange garante que uma função particular, a Lagrangiana do sistema, caracteriza-o completamente no que se refira à sua dinâmica. A Lagrangiana é uma função de 2r variáveis, r coordenadas generalizadas e r velocidades generalizadas, e desempenha em mecânica, de forma similar ao de $S_{(U,V,N)}$ na termodinâmica, o papel de equação fundamental para a dinâmica:

$L=L_{(v_1,v_2,...,v_r,q_1,q_2,...,q_r)}$

Sendo uma equação fundamental, aplicando-se o formalismo da mecânica Lagrangiana pode-se então chegar às equações diferenciais e posteriormente às equações horárias que descrevem toda a dinâmica do sistema em questão.

A transformada de Legendre aplica-se também à Lagrangiana. Neste contexto, o momento generalizado $P_k$ conjugado à correspondente velocidade $v_k$ é definido como a deriva parcial da lagrangiana em relação à respectiva velocidade $v_k$ (k<=r):

$P_k=\frac{\partial L_{(v_1,v_2,...,v_r,q_1,q_2,...,q_r)}}{\partial v_k}$

Caso deseje-se substituir como variáveis independentes todas as velocidades pelos correspondentes momentos, devem-se fazer Transformadas de Legendre em relação a todas as velocidades. Assim, introduz-se uma nova função, chamada Hamiltoniano, definida por:

$(-H)=L-{\mathrm{\Sigma }}_1^r{P}_k{v}_k$

Um novo formalismo dinâmico, a mecânica hamiltoniana, pode então ser empregada em termos da nova equação fundamental $H_{(P_1,P_2,...P_r,q_1,q_2,...,q_r)}$

As hamiltonianas são particularmente importantes no estudo da mecânica quântica.

Exemplo

Oscilador harmônico simples ideal. O estudo deste sistema pode ser feito através do conhecimento de sua Lagrangiana ou de seu Hamiltoniano. Conhecida um destas funções, obtém-se facilmente a outra através da Transformada de Legendre

Inicialmente determinar-se-á a Lagrangiana e posteriormente o Hamiltoniano para um oscilador harmônico unidimensional constituído de uma massa presa em uma das extremidades de a uma mola e apoiada em uma mesa sem atrito.

A Lagrangiana do sistema é definida no contexto da mecânica lagrangiana como a diferença entre a energia cinética T e a energia potencial U do sistema, o que para este presente caso resulta, considerado que só há energia potencial elástica no sistema:

$L_{(x,\dot{x})}=T-U=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$

Nesta equação, $\dot{x}$ representa a velocidade da partícula associada à coordenada x.

A partir desta equação fundamental pode-se, de posse do formalismo da mecânica lagrangiana e do Princípio de Lagrange, determinar a equação de movimento para a massa.

Para fins de comparação das soluções, a solução no formalismo lagrangiano é apresentado abaixo, partindo-se para tal do Princípio de Lagrange que afirma, sendo

$L=L_{(x_1,x_2,...,x_n,\dot{x_1},\dot{x_2},...,\dot{x_n})}$ tem-se, com i=1,2,...

que:

$\frac{\partial L}{\partial x_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}=0$

Para o problema em questão:

$\frac{\partial L}{\partial x}=-kx$

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)=m\ddot{x}$

O que, substituído na equação para o Princípio de Lagrange, fornece:

$m\ddot{x}+kx=0$, que é a equação diferencial para o sistema em estudo.

A solução desta equação diferencial leva a uma função horária cossenoidal para o movimento da massa no oscilador harmônico simples considerado (para a solução, consulte o artigo dedicado).

$X(t)=Acos(kx-\omega t+\varphi )$

onde $\omega ={\left(\frac{k}{m}\right)}^{\frac{1}{2}}$

Procura-se agora chegar a uma mesma solução através do formalismo da mecânica hamiltoniana.

O Hamiltoniano para o sistema pode ser obtida através da Transformada de Legendre aplicada à Lagrangiana, conforme descrito anteriormente.

Seguindo-se os passos prescritos, o momento generalizado associado à velocidade $\dot{x}$ é:

$P=\frac{\partial L_{(x,\dot{x})}}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$

de onde, isolando-se $\dot{x}$

$\dot{x}=\frac{P}{m}$

Determinando-se o Hamiltoniano H através de

$(-H)=L-P\dot{x}$

tem-se, já eliminando-se $\dot{x}$ em favor de P:

$(-H)=\frac{1}{2}m{\left(\frac{P}{m}\right)}^2-\frac{1}{2}k{x}^2-P\left(\frac{P}{m}\right)$

Resolvendo, chega-se ao Hamiltoniano do sistema, uma equação fundamental que contém igualmente todas as informações necessárias sobre a dinâmica do sistema:

$H_{(P,x)}=\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2$

Aplicar-se-á agora o formalismo da mecânica hamiltoniana a fim de se comparar os resultados.

As equações diferenciais de movimento no formalismo de Hamilton são, já adaptadas ao problema unidimensional com variáveis x e P (fez-se q=x para tal):

$\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial P}=P/m$

$-\dot{P}=\frac{\partial H}{\partial x}=kx$

Da primeira tem-se:

$P=m\dot{x}$ donde

$\dot{P}=m\ddot{x}$ para um sistema com massa constante.

Substituindo na segunda:

$-\dot{P}=kx=-m\ddot{x}$

e por fim

$kx+m\ddot{x}=0$

que é a mesma equação diferencial antes obtida pelo formalismo lagrangiano, o que leva à mesma solução já apresentada, obviamente.

Ver também

• Joseph-Louis Lagrange

• Transformada integral

• Mecânica hamiltoniana

• Mecânica lagrangiana

• Termodinâmica