Espaço Twistor

Em matemática e física teórica (especialmente teoria de twistor), o espaço de twistor é o complexo espaço vetorial de soluções da equação de twistor $\underset{A^{\prime }}{\overset{(A}{\mathrm{\nabla }}}{\mathrm{\Omega }}_{{}^{}}^{B)}=0$. Foi descrito na década de 1960 por Roger Penrose e Malcolm MacCallum. De acordo com Andrew Hodges, o espaço de twistor é útil para conceituar a maneira como os fótons viajam através do espaço, usando quatro números complexos. Ele também postula que o espaço de twistor pode ajudar na compreensão da assimetria da força nuclear fraca.

Motivação informal

Nas palavras de Jacques Hadamard: “o caminho mais curto entre duas verdades no domínio real passa pelo domínio complexo”. Portanto, ao estudar o espaço quadridimensional ${ℝ}^4$ pode ser valioso identificá-lo com ${ℂ}^2.$ No entanto, uma vez que não existe uma maneira canônica de fazer isso, em vez disso, todos os isomorfismos que respeitam a orientação e a métrica entre os dois são considerados. Acontece que aquele complexo tridimensional espaço projetivo ${ℂ\mathbb{P}}^3$ parametriza tais isomorfismos juntamente com coordenadas complexas. Assim, uma coordenada complexa descreve a identificação e as outras duas descrevem um ponto em ${ℝ}^4$. Acontece que os fibrados vetoriais com conexões autoduais ativadas ${ℝ}^4$(instantons) correspondem bijetivamente a feixes holomórficos no complexo 3-espaço projetivo ${ℂ\mathbb{P}}^3.$

Definição formal

Para o espaço de Minkowski, denotado $𝕄$, as soluções para a equação do twistor são da forma

${\mathrm{\Omega }}^A(x)={\omega }^A-i{x}^{A{A}^{\prime }}{\pi }_{A^{\prime }}$

onde ${\omega }^A$ e ${\pi }_{A^{\prime }}$ são dois espinores Weyl constantes e $x^{A{A}^{\prime }}={\sigma }_{\mu }^{A{A}^{\prime }}{x}^{\mu }$ é um ponto no espaço de Minkowski. Os ${\sigma }_{\mu }=(I,\overrightarrow{\sigma })$ são as matrizes de Pauli, com $A,A^{\prime }=1,2$ the indexes on the matrices. Este espaço de twistor é um espaço vetorial complexo quadridimensional, cujos pontos são denotados por $Z^{\alpha }=({\omega }^A,{\pi }_{A^{\prime }})$, e com uma forma hermitiana.

$\mathrm{\Sigma }(Z)={\omega }^A{\overline{\pi }}_A+{\overline{\omega }}^{A^{\prime }}{\pi }_{A^{\prime }}$

que é invariante sob o grupo SU (2,2), que é uma cobertura quádrupla do grupo conforme C(1,3) do espaço-tempo compactado de Minkowski.

Os pontos no espaço de Minkowski estão relacionados a subespaços do espaço de twistores por meio da relação de incidência

${\omega }^A=i{x}^{A{A}^{\prime }}{\pi }_{A^{\prime }}.$

Esta relação de incidência é preservada sob um redimensionamento geral do twistor, então geralmente se trabalha no espaço do twistor projetivo, denotado $\mathbb{P}𝕋$, que é isomórfico como uma variedade complexa para ${ℂ\mathbb{P}}^3$.

Dado um ponto $x\in M$ está relacionado a uma linha no espaço de torção projetiva onde podemos ver a relação de incidência como dando a incorporação linear de um ${ℂ\mathbb{P}}^1$ parametrizado por ${\pi }_{A^{\prime }}$.

A relação geométrica entre o espaço do twistor projetivo e o espaço de Minkowski compactado e complexificado é a mesma que a relação entre linhas e dois planos no espaço de torção; mais precisamente, o espaço do twistor é

$𝕋:={ℂ}^4.$

Tem associado a ele a dupla fibração de variedades de bandeira $\mathbb{P}\stackrel{\mu }{\leftarrow }𝔽\stackrel{\nu }{\to }𝕄$ where $\mathbb{P}$ is the projective twistor space

$\mathbb{P}=F_1(𝕋)={ℂ\mathbb{P}}^3=𝐏({ℂ}^4)$

e $𝕄$ é o espaço de Minkowski compactificado e complexificado

$𝕄=F_2(𝕋)={\mathrm{Gr}}_2({ℂ}^4)={\mathrm{Gr}}_{2,4}(ℂ)$

e o espaço de correspondência entre $\mathbb{P}$ e $𝕄$ é

$𝔽=F_{1,2}(𝕋)$

Nas circunstâncias acima, $𝐏$ significa espaço projetivo, $\mathrm{Gr}$ um Grassmanniano, e $F$ uma variedade de sinalização. A dupla fibração dá origem a duas correspondências (ver também transformada de Penrose), $c=\nu \circ {\mu }^{-1}$ e $c^{-1}=\mu \circ {\nu }^{-1}.$

O espaço de Minkowski complexificado e compactado $𝕄$ está embutido em ${𝐏}_5\cong 𝐏({\wedge }^2𝕋)$ pela incorporação de Plücker; a imagem é a quádrica de Klein. Predefinição:Referências Predefinição:Esboço-matemática Predefinição:Áreas da matemática