Espaços de Hölder

Em matemática, sobretudo na análise funcional e na teoria das equações diferenciais, os espaços de Hölder espaços vectoriais formados por funções contínuas que apresentam certas condições adicionais de regularidade. O espaço tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.

Mais do que simplesmente classes de regularidade, os espaços de Hölder por si mesmos possuem propriedades algébricas importantes: são espaços normados completos na métrica induzida por sua norma, ou seja, são espaços de Banach.

Definições

Seja $U\subseteq {ℝ}^n$ um conjunto aberto e $\gamma \in (0,1]$ um número real. Uma função $f:U\to ℝ$ é dita Hölder-contínua com expoente $\gamma$ se existir uma constante real $C$ tal que:

$|f(x)-f(y)|\le C|x-y{|}^{\gamma },\mathrm{\forall }x,y\in U.$

Em particular, observe que, para $\gamma =1$, o critério coincide com o de função Lipschitz contínua.

Nestas condições, podemos definir a $\gamma$-ésima semi-norma de Hölder como:

$[f{]}_{C^{0,\gamma }(U)}=\underset{\stackrel{x,y\in U}{x\ne y}}{\sup }\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^{\gamma }}.$

Além disso, perceba também que se $f$ for ainda uma função limitada em $U$, então a norma do supremo está bem definida

$\Vert f{\Vert }_{C^0(U)}=\underset{x\in u}{\sup }|f(x)|<\mathrm{\infty }.$

Logo, a $\gamma$-ésima norma de Hölder é definida como

$\Vert f{\Vert }_{C^{0,\gamma }(U)}=\Vert f{\Vert }_{C^0(U)}+[f{]}_{C^{0,\gamma }(U)}.$

O espaço de Hölder $C^{k,\gamma }(U)$ consiste de todas as funções $f:U\to {ℝ}^n$ que pertencem ao espaço $C^k(U)$ das funções k vezes continuamente diferenciáveis para as quais a norma

$\Vert f{\Vert }_{C^{k,\gamma }(U)}=\sum _{|\alpha |\le k}\Vert D^{\alpha }f{\Vert }_{C^0(U)}+\sum _{|k|=\alpha }[D^{\alpha }f{]}_{C^{0,\gamma }(U)}$

é finita, onde $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ é um multi-índice cuja ordem é dada por $|\alpha |={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n$ e sua derivada de ordem $\alpha$ é determinada por

$D^{\alpha }f(x)=\frac{{\partial }^{|\alpha |}f(x)}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}}.$

Exemplos

A função $\sqrt{x}$ definida em $[0,3]$ é Hölderiano para cada um $\alpha \le \frac{1}{2}$.

Referências

• Predefinição:Citar livro
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