Função zeta de Dedekind

Em matemática, a função zeta de Dedekind é uma série de Dirichlet definida para qualquer corpo numérico algébrico $K$, e notado ${\zeta }_K(s)$ onde $s$ é uma variável complexa. É a soma infinita

${\zeta }_K(s)=\sum _{I\subseteq O_K}(N_{K/\mathbb{Q}}(I){)}^{-s}$

onde $I$ situa-se entre os ideais não zero do anel de inteiros $O_K$ de $K$. Aqui $N_{K/\mathbb{Q}}(I)=[O_K:I]$ denota a norma de $I$ (ao corpo racional $\mathbb{Q}$). É igual à cardinalidade de $O_K/I$, em outras palavras, o número de classes residuais de módulo $I$. Esta soma converge absolutamente para todos os números complexos $s$ com parte real $Re(s)>1$. No caso $K=\mathbb{Q}$ esta definição reduz-se à função zeta de Riemann.

As propriedades de ${\zeta }_K(s)$ como uma função meromorfa leva a ser de considerável significância em teoria algébrica dos números. Ela tem um produto de Euler, o qual é um produto sobre todos os ideais primos $P$ de $O_K$

${\zeta }_K(s)=\prod _{P\subseteq O_K}\frac{1}{1-(N_{K/\mathbb{Q}}(P){)}^{-s}}.$

Esta é a expressão em termos analíticos da fatoração em primos única dos ideais $I$.

É conhecido (provado primeiramente de maneira geral por Erich Hecke) que ${\zeta }_K(s)$ tem uma extensão analítica a todo o plano complexo como uma função meromórfica, tendo um polo simples somente em s = 1. O resíduo no polo é uma grandeza importante, envolvendo invariantes do grupo unidade e grupo de classe de K; detalhes estão na fórmula de classe numérica. Existe uma equação funcional para a função zeta de Dedekind, relacionando seus valores em s e 1−s.

Para o caso no qual K é uma extensão abeliana de Q, sua função zeta de Dedekind pode ser escrita como o produto de funções L de Dirichlet. Por exemplo, quando K é um corpo quadrático isto mostra que a razão

$\frac{{\zeta }_K(s)}{{\zeta }_{\mathbb{Q}}(s)}$

é uma função L L(s,χ); onde $\chi$ é um símbolo de Jacobi como caráter de Dirichlet. Que a função zeta de um corpo quadrático é um produto da função zeta de Riemann e uma certa função L de Dirichlet é uma formulação analítica da lei de Gauss da reciprocidade quadrática.

Em geral se K é uma extensão de Galois de Q com grupo de Galois G, sua função zeta de Dedekind tem uma fatorização comparável em termos de funções L de Artin. Estas são ligadas a representações lineares de G.

Referências gerais

• W. Narkiewicz (1990). Elementary and analytic theory of algebraic numbers (2nd ed ed.). Springer-Verlag/Polish Scientific Publishers PWN. pp. 324–355. ISBN 3-540-51250-0.