Limite direto

Em matemática, um limite direto (ou limite indutivo) é um colimite de um "limite dirigido de objetos". Primeiro daremos a definição para estruturas algébricas como grupos e módulos, e então a definição geral que pode ser usada em qualquer categoria .

Definição Formal

Objetos Algébricos

Nesta seção entenderemos os objetos como sendo conjuntos com uma dada estrutura algébrica tais como grupos, anéis, módulos (sobre um anel fixado), álgebras (sobre um anel fixado), etc. Com isto em mente "homomorfismos" estão sendo considerados no contexto correspondente (homomorfismos de grupos, de anéis, de módulos, etc).

Começamos com a definição de um sistema direto(ou sistema dirigido) de objetos e homomorfismos. Sejam $⟨I,\le ⟩$ um conjunto dirigido e $\{A_i:i\in I\}$ uma família de objetos indexados por $I$ e $f_{ij}:A_i\to A_j$ um homomorfismo para todo $i\le j$ com as seguintes propriedades:

1. $f_{ii}$ é a identidade de $A_i$, e
2. $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$ para todo $i\le j\le k$.

Então o par $⟨A_i,f_{ij}⟩$ é chamado um sistema dirigido sobre $I$.

O conjunto subjacente do limite direto, $A$, de um sistema dirigido $⟨A_i,f_{ij}⟩$ é definido como a união disjunta dos $A_i$'s modulo uma certa relação de equivalência $\sim$:

$\underrightarrow{\lim }{A}_i=\underset{i}{⨆}{A}_i/\sim .$

Aqui, se $x_i\in A_i$ e $x_j\in A_j$, $x_i\sim x_j$ se existe algum $k\in I$ tal que $f_{ik}(x_i)=f_{jk}(x_j)$. Heuristicamente, dois elementos da união disjunta são equivalentes se, e somente se, eles "são eventualmente iguais" no sistema dirigido. Uma formulação equivalente que clareia a dualidade com o limite inverso é que um elemento é equivalente a todas as suas imagens pelos morfismos do sistema dirigido, isto é $x_i\sim f_{ik}(x_i)$.

Dessa definição obtemos "morfismos naturais" ${\varphi }_i:A_i\to A$ que levam um elemento na sua classe de equivalência. As operações em $A$ são definidas com estes morfismos de maneira óbvia.

Uma propriedade importante é que tomar o limite direto na categoria dos módulos é um functor exato.

Limite Direto sobre um sistema dirigido numa categoria

O limite direto pode ser definido nunca categoria arbitrária $𝒞$ por meio de uma propriedade universal. Sejam $⟨X_i,f_{ij}⟩$ um sistema dirigido de objetos e morfismos em $𝒞$ (mesma definição de cima). O limite direto deste sistema é um objeto $X$ em $𝒞$ junto com os morfismos ${\varphi }_i:X_i\to X$ satisfazendo ${\varphi }_i={\varphi }_j\circ f_{ij}$. O par $⟨X,{\varphi }_i⟩$ deve ser universal no sentido de que para qualquer outro par $⟨Y,{\psi }_i⟩$ existe um único morfismo $u:X\to Y$ fazendo o diagrama

comutar para todo i, j. O limite direto é geralmente denotado $X=\underrightarrow{\lim }{X}_i$ com o sistema dirigido $⟨X_i,f_{ij}⟩$ sendo subtendido.

Diferentemente do caso de objetos algébricos, o limite direto pode não existir numa categoria arbitrária. Mas quando ele existe ele é único no sentido forte: dado outro limite direto X′ existe um único isomorfismo X′ → X que comuta com os morfismos naturais ${\varphi }_i:A_i\to A$.

Note que um sistema dirigido num categoria $𝒞$ admite um descrição alternativa em termos de funtores. Qualquer conjunto dirigido $⟨I,\le ⟩$ pode ser considerado como uma categoria pequena $ℐ$ onde os morfismo consistem das setas $i\to j$ se, e somente se, $i\le j$. Um sistema dirigido é então um functor covariante $ℐ\to 𝒞$.

Definição Geral

Predefinição:Artigo principal Sejam $ℐ$ e $𝒞$ categorias. Seja $c_X:ℐ\to 𝒞$ um functor constante com objeto fixo $X\in 𝒞$. Defina para cada functor $F:ℐ\to 𝒞$ o functor

$\underset{⟶}{\lim }F:𝒞\to 𝐒𝐞𝐭$

que associa a cada $X\in 𝒞$ o conjunto $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(F,c_X)$ das transformações naturais de F para $c_X$. Se $\underset{⟶}{\lim }F$ é representável, o objeto representante em $𝒞$ é chamado o limite direto de F e é denotado por $\underset{⟶}{\lim }F$.

Se $𝒞$ é uma categoria abeliana onde somas diretas arbitrárias(possivelmente infinitas) de objetos existem (este é o axima AB3 de Grothedieck). O $\underset{⟶}{\lim }F$ é representável para cada functor $F:ℐ\to 𝒞$ e

$\underset{⟶}{\lim }:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(ℐ,𝒞)\to 𝒞,F\mapsto \underset{⟶}{\lim }F$

é um functor aditivo exato à direita de categorias abelianas.

Exemplos

• Uma coleção de subconjuntos $M_i$ de um conjunto M pode ser parcialmente ordenada pela inclusão. Se a coleção é dirigida, seu limite direto é a união $\bigcup M_i$.
• Seja p um número primo. Considere o sistema dirigido composto dos grupos Z/pⁿZ e homomorfismos Z/pⁿZ → Z/pⁿ⁺¹Z induzidos pela multiplicação por p. O limite direto deste sistema é composto das raízes da unidade de ordem alguma potência de p, e é chamado grupo de Prüfer Z(p^∞).
• Seja F um feixe em um espaço topológico X. Fixe um opnto x em X. As vizinhanças abertas de x formam um sistema dirigido ordenado pela inclusão(U ≤ V se, e somente se, U contém V). O sistema direto correspondente é (F(U), r_U,V) onde r é a aplicação de restrição. O limite direto deste sistema é chamado o talo de F em x, denotado F_x. Para cada vizinhança aberta U de x, o mrfismo canônico F(U) → F_x associa a cada seção s de F sobre U um elemento s_x do talo F_x chamado o germe de s em x.
• Limites diretos na categoria de espações topológicos são dados colocando a topologia final no conjunto subjacente ao limite direto.
• Limites diretos são conectados aos inversos via

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\underrightarrow{\lim }{X}_i,Y)=\underleftarrow{\lim }\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X_i,Y).$

• Considere a sequência {A_n, φ_n} onde A_n é uma C*-algebra e φ_n : A_n → A_{n + 1} é um C*-homomorfismo. O C*-análogo da construção do limite direto dá uma C*-algebra satisfazendo a propriedade universal acima.

Construções relacionadas e generalização

A categoria dual do limite direto é chamada o limite inverso (ou limite projetivo). Conceitos mais gerais são o limites e colimites da teoria das categorias. A terminologia confunde um pouco: limites diretos são colimites enquanto limites inversos são limites.