Matriz circulante

Em matemática, uma matriz circulante é uma matriz quadrada em que cada linha i é formada por um deslocamento cíclico de i posições de uma mesma lista de elementos {a₀,a₁,a₂ ... a_n-1}, ou seja

$𝐀=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_0& a_1& a_2& \dots & \dots & a_{n-1}\\ a_{n-1}& a_0& a_1& \ddots & & ⋮\\ a_{n-2}& a_{n-1}& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & a_1& a_2\\ ⋮& & \ddots & a_{n-1}& a_0& a_1\\ a_1& \dots & \dots & a_{n-2}& a_{n-1}& a_0\end{array}\right](1a)$

que é um caso especial de matriz de Toeplitz. Toda matriz circulante é um quadrado latino. Uma definição alternativa e equaivalente a (1a) é

${𝐀}_{k,j}=a_{(j-k)modn}0\le k,j\le n-1(1b)$

onde mod é a função módulo e n é o número de linhas de A.

Autovalores e autovetores

Os autovalores λ e autovetores v de A são facilmente calculados:

${\lambda }_m=\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k\cdot e^{\frac{-2\pi imk}{n}}0\le m\le n-1(2a)$

${𝐯}_m=\sqrt{\frac{1}{n}}[1,e^{\frac{-2\pi im}{n}},...e^{\frac{-2\pi im(n-1)}{n}}]1\le m\le n-1(2b)$

A equação (2a) indica que os autovalores de uma matriz circulante qualquer são a transformada discreta de Fourier (DFT) do vetor a = [a₀,a₁,a₂ ... a_n-1]. Por isso vale também a relação inversa

$a_k=\frac{1}{n}\sum _{j=0}^{n-1}{\lambda }_j\cdot e^{\frac{-2\pi ijk}{n}}0\le k\le n-1(3a)$

Em suma, a sequência dos autovalores de uma matriz circulante são iguais à DFT da primeira linha dessa matriz, e essa primeira linha da matriz é igual à DFT inversa da sequência dos autovalores.

A propriedade elementar dos autovalores λ e dos autovetores v de uma matriz qualquer B

$𝐁{𝐯}_m={\lambda }_m{𝐯}_m$

pode ser escrita de forma alternativa e equivalente como

$𝐁𝐕=𝐕\mathrm{\Lambda }(2c)$

onde V é a matriz composta pelos autovetores dispostos verticalmente

$𝐕=\left[\begin{array}{cccccc}{𝐯}_0& {𝐯}_1& {𝐯}_2& \dots & \dots & {𝐯}_{n-1}\end{array}\right](2d)$

e Λ é a matriz diagonal formada pelos autovalores

$\mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{cccccc}{\lambda }_0& 0& 0& \dots & \dots & 0\\ 0& {\lambda }_1& 0& \ddots & & ⋮\\ 0& 0& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & 0& 0\\ ⋮& & \ddots & 0& {\lambda }_{n-2}& 0\\ 0& \dots & \dots & 0& 0& {\lambda }_{n-1}\end{array}\right](2e)$

A equação (2b) garante que, para toda matriz circulante, V é uma matriz unitária e que

$𝐕{𝐕}^{*}={𝐕}^{*}𝐕=𝐈(2f)$

onde o asterisco (*) denota a matriz transposta conjugada e I é a matriz identidade de n linhas. Substituindo (2f) em (2c), temos que, para uma matriz circulante qualquer A

$𝐀=𝐕\mathrm{\Lambda }{𝐕}^{*}(2g)$

$\mathrm{\Lambda }={𝐕}^{*}𝐀𝐕(2h)$

A equação (2g) indica que toda matriz circulante é uma matriz normal.

Propriedades algébricas

Se A e C são matrizes circulantes, então valem as seguintes propriedades:

Produto

$𝐀𝐂=𝐂𝐀=𝐃=𝐕𝐋{𝐕}^{*}(4a)$

onde L é a matriz diagonal cujos elementos são o produto dos respectivos autovalores de A e de C. D é também uma matriz circulante.

Adição

$𝐀+𝐂=𝐃=𝐕𝐋{𝐕}^{*}(4b)$

onde L é a matriz diagonal cujos elementos são a soma dos respectivos autovalores de A e de C. D é também uma matriz circulante.

Inversa

Se nenhum autovalor for nulo, então A é inversível e

${𝐀}^{-1}=𝐕{\mathit{\lambda }}^{-1}{𝐕}^{*}(4c)$

A^-1 é também uma matriz circulante.

Linearidade

Se a e b são escalares, então D = aA + bC é também uma matriz circulante.

Notas

Predefinição:Classes de matriz