Matriz de covariância

Em estatística e em teoria das probabilidades, matriz de covariância é uma matriz, simétrica, que sumariza a covariância entre N variáveis.

Definição

Se os elementos de um vetor coluna

$X=\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ ⋮\\ X_n\end{array}\right]$

forem variáveis aleatórias, cada uma com variância finita, então a matriz de covariância será a matriz cujo elemento (i, j) é a covariância

${\mathrm{\Sigma }}_{ij}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_i,X_j)=\mathrm{E}\left[\begin{array}{c}(X_i-{\mu }_i)(X_j-{\mu }_j)\end{array}\right]$

em que

${\mu }_i=\mathrm{E}(X_i)$

é o valor esperado do i-ésimo elemento do vetor X. Em outras palavras, temos

$\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{E}[(X_1-{\mu }_1)(X_1-{\mu }_1)]& \mathrm{E}[(X_1-{\mu }_1)(X_2-{\mu }_2)]& \cdots & \mathrm{E}[(X_1-{\mu }_1)(X_n-{\mu }_n)]\\ \\ \mathrm{E}[(X_2-{\mu }_2)(X_1-{\mu }_1)]& \mathrm{E}[(X_2-{\mu }_2)(X_2-{\mu }_2)]& \cdots & \mathrm{E}[(X_2-{\mu }_2)(X_n-{\mu }_n)]\\ \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \\ \mathrm{E}[(X_n-{\mu }_n)(X_1-{\mu }_1)]& \mathrm{E}[(X_n-{\mu }_n)(X_2-{\mu }_2)]& \cdots & \mathrm{E}[(X_n-{\mu }_n)(X_n-{\mu }_n)]\end{array}\right]$

A covariância entre um elemento $X_i$ e ele mesmo é a sua variância e forma a diagonal principal da matriz. A inversa desta matriz, ${\mathrm{\Sigma }}^{-1}$, é chamada matriz de covariância inversa ou matriz de precisão.

Generalização do conceito

A definição acima é equivalente à multiplicação do vetor coluna pela sua transposta

$\mathrm{\Sigma }=\mathrm{E}\left[(\mathbf{\text{X}}-\mathrm{E}[\mathbf{\text{X}}]){(\mathbf{\text{X}}-\mathrm{E}[\mathbf{\text{X}}])}^{\mathrm{\top }}\right]$

Propriedades

• Todas as matrizes de covariância são positivas semi definidas.

Ver também

• Variância
• Covariância
• Correlação
• Matrizes

Referências

• KAMPEN, N.G. van. Processos Estocásticos em Física e Química. New York: North-Holland, 1981.
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