Métrica (matemática)

Em Matemática, métrica é um conceito que generaliza a ideia geométrica de distância. Um conjunto em que há uma métrica definida recebe o nome de espaço métrico.

Definição

Dado um conjunto $𝕊$ , uma métrica em $𝕊$ é uma função

d : 𝕊 \times 𝕊 \to ℝ

que possui as seguintes propriedades:

É positivamente definida, ou seja, é tal que

d (x, y) \geq 0

para todos os $x, y \in 𝕊$ .

É simétrica, ou seja, é tal que

d (x, y) = d (y, x)

para todos os elementos $x, y$ de $𝕊$ .

Obedece a desigualdade triangular; para todos os $x, y, z$ elementos de $𝕊$ , $d$ satisfaz

d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z) .

É nula apenas para pontos coincidentes. Ou seja,

d (x, y) = 0 ⟺ x = y .

No âmbito da relatividade, ao espaço-tempo está associada uma pseudométrica, já que para dois pontos diferentes o quadrado da "distância" (aqui entendida como o comprimento da geodésica entre dois pontos distintos) pode ser zero para pontos distintos e mesmo negativa.

Exemplos

No conjunto dos números reais, a métrica usual é dada por:

$d (x, y) = | x - y |$

No conjunto $ℝ^{n}$ várias métricas podem ser definidas, por exemplo:

$d (x, y) = \sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - y_{i} |^{p}}$
$d (x, y) = m a x | x_{i} - y_{i} |$

No conjunto das funções contínuas no intervalo $[a, b]$ , $C^{0} [a, b]$ :

$d (f, g) = \sup_{x \in [a, b]} | f (x) - g (x) |$
$d (f, g) = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) |$

Em um conjunto $𝕊$ qualquer, a métrica discreta:

$d (x, y) = {\begin{matrix} 0, & x = y \\ 1, & x \neq y \end{matrix}$

Bolas

Predefinição:Artigo principal As bolas abertas de raio $r$ e centro $x$ em um espaço métrico $𝕊$ são denotadas por:

B (x, r) = {y \in 𝕊 : d (x, y) < r} .

Analogamente, as bolas fechadas de raio $r$ e centro $x$ em um espaço métrico $𝕊$ são denotadas por:

\bar{B} (x, r) = {y \in 𝕊 : d (x, y) \leq r} .

Métrica induzida por uma norma

Predefinição:Artigo principal Seja $‖ . ‖$ uma norma em um espaço $𝕊$ , então pode-se definir uma métrica neste espaço por:

d (x, y) = ‖ x - y ‖

Os axiomas da métrica serão automaticamente satisfeitos.

Topologia induzida por uma métrica

Ficheiro:Burtyka eighteen polyhedron - truncated rhombic dodecahedron by Burtyka M.V.png

O Burtyka dezoito poliedro em matemática.

A todo espaço métrico está associado, de forma canônica, um espaço topológico. Este espaço pode ser definido de várias maneiras equivalentes.

Seja $τ_{d} \subset ℘ (𝕊)$ o conjunto

τ_{d} = {A \subset 𝕊 ∣ \forall x \in A, \exists r > 0 tal que B (x, r) \subset A} .

Em outras palavras, todo elemento A de tau_d é um subconjunto de S em que cada elemento $x \in A$ é também elemento de uma bola aberta B que é subconjunto de A: $x \in B \subseteq A \subseteq S$ .

Verifica-se facilmente que $τ_{d}$ é uma topologia sobre $𝕊$ . Essa é a topologia induzida por $d$ sobre $𝕊$ .

Note que o conjunto de todas as bolas abertas de $𝕊$ forma uma base para a topologia $τ_{d}$ .

Por exemplo, a métrica discreta induz a topologia discreta.

Limitação

Predefinição:Artigo principal Um conjunto é dito limitado se estiver contido em uma bola de raio finito.

Convergência

Predefinição:Artigo principal Uma seqüência ${x_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ é dita convergente para uma ponto $x$ se:

\lim_{n \to \infty} d (x_{n}, x) = 0

Uma seqüência é dita de Cauchy se:

\lim_{n, m \to \infty} d (x_{n}, x_{m}) = 0

Completeza

Predefinição:Artigo principal Um espaço métrico é dito completo se toda seqüência de Cauchy é convergente.

Todo espaço métrico admite um completamento, veja espaço completo.

Métricas equivalentes

Dadas as métricas $d_{1}$ e $d_{2}$ no mesmo conjunto $M$ , escreveremos, por simplicidade, $M_{1} = (M, d_{1})$ , $M_{2} = (M, d_{2})$ , $B_{1} (a; r)$ igual a bola de centro a e raio r segundo a métrica $d_{1}$ . Usaremos os índices 1 e 2 para distinguir objetos definidos com auxílio das métricas $d_{1}$ ou $d_{2}$ respectivamente.

Consideremos que $d_{1}$ é mais fina que $d_{2}$ , e escreveremos $d_{1} ≺ d_{2}$ , quando a aplicação identidade $i_{12} : M_{1} \to M_{2}$ for contínua. Como $i_{12} (x) = x$ para todo $x \in M$ , a definição de continuidade apresenta a seguinte condição necessária e suficiente para que $d_{1}$ seja mais fina que $d_{2}$ : para todo $a \in M$ e todo $ϵ > 0$ , existe $δ > 0$ tal que $B_{1} (a; δ) \subset B_{2} (a; ϵ)$ . Ou seja, $d_{1} ≺ d_{2} \Leftrightarrow t o d a b o l a a b e r t a s e g u n d o d_{2} c o n t e m u m a b o l a a b e r t a d e m e s m o c e n t r o s e g u n d o d_{1} .$

Exemplos:

Seja $d_{1}$ uma métrica discreta. Se o espaço métrico $(M, d_{1})$ é discreto, então $d_{1}$ é mais fina do que qualquer outra métrica discreta $d_{2}$ em $M$ . Por outro lado, se $d_{2}$ for mais fina do que a métrica discreta $d_{1}$ então, para todo $a \in M$ , existe uma bola $B_{2} (a; δ)$ contida na bola ${a} = B_{1} (a; ϵ)$ . Logo $B_{2} (a; δ) = {a}$ e portanto $d_{2}$ também é discreta.
Se existir uma constante $c > 0$ tal que $d_{2} (x, y) \leq c . d_{1} (x, y)$ para quaisquer $x, y \in M$ , então $d_{1}$ mais fina do que $d_{2}$ .

---Proposição: Sejam $M_{1} = (M, d_{1})$ e $M_{2} = (M, d_{2})$ espaços métricos sobre o mesmo conjunto $M$ . As seguintes afirmações são equivalentes:

$d_{1} ≺ d_{2}$ , quando a aplicação identidade $i_{12} : M_{1} \to M_{2}$ for contínua;
Para todo espaço métrico $N$ , $f : M_{2} \to N$ contínua $\Rightarrow f : M_{1} \to N$ contínua, ou seja, toda aplicação contínua segundo $d_{2}$ é contínua segundo $d_{1}$ ;
Se $f : M_{2} \to ℝ$ é contínua então $f : M_{1} \to ℝ$ é contínua;
Para todo $a \in M$ , a função $d_{2 a} : M_{1} \to ℝ$ , definida por $d_{2 a} (x) = d_{2} (a, x)$ é contínua no ponto $a \in M$ ;
Toda bola aberta segundo $d_{2}$ contém uma bola aberta de mesmo centro segundo $d_{1}$ ;
A função $d_{2} : M_{1}$ x $M_{1} \to ℝ$ é contínua.

---Proposição: A aplicação injetiva $f : (M, d_{M}) \to (N, d_{N})$ é contínua se, e somente se, a métrica $d_{M}$ é mais fina do que a métrica $d_{1}$ , induzida em $M$ por $f$ .

Exemplos:

Como $f : (0, 2 π) \to S^{1}$ , dada por $f (t) = (c o s (t), s e n (t))$ , é uma bijeção contínua, segue- se que a métrica $d (x, y) = | x - y |$ em $[0, 2 π)$ é mais fina do que a métrica $d_{1} (x, y) = \sqrt{(c o s x - c o s y)^{2} + (s e n x - s e n y)^{2}}$ , induzida por $f$ .

---Definição: Duas métricas $d_{1}$ e $d_{2}$ num espaço $M$ chamam- se $e q u i v a l e n t e s$ quando cada uma delas é mais fina do que a outra, isto é, quando a aplicação identidade $i_{12} : (M, d_{1}) \to (M, d_{2})$ é homeomorfismo. Denotamos por $d_{1} \sim d_{2}$ . A relação $d_{1} \sim d_{2}$ é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo: Duas métricas discretas no mesmo espaço são sempre equivalentes. Se $d_{1} \sim d_{2}$ e $d_{1}$ é discreta, então $d_{2}$ é discreta.

---Definição: A fim de que se tenha $d_{1} \sim d_{2}$ em $M$ , é necessário e suficiente que qualquer bola aberta em relação a uma dessas métricas contenha uma bola aberta de mesmo centro em relação à outra.

Exemplos:

As métricas $d, d^{'} e d^{″}$ no plano $ℝ^{𝟚}$ são equivalentes, pois todo disco contém um quadrado com diagonais paralelas aos eixos, o qual contém um quadrado de lados paralelos aos eixos e este, por sua vez, contém um disco, todas essas figuras com o mesmo centro.
Se existirem constantes $α > 0 e β > 0$ tais que $α . d_{1} (x, y) \leq d_{2} (x, y) \leq β . d_{1} (x, y)$ para quaisquer $x, y \in M$ , então as métricas $d_{1}$ e $d_{2}$ são equivalentes pois a aplicação identidade $i_{12} : (M, d_{1}) \to (M, d_{2})$ e sua inversa $i_{21} : (M, d_{2}) \to (M, d_{1})$ são, neste caso, ambas lipschitzianas. Assim, por exemplo, no produto cartesiano $M = M_{1}$ x ... x $M_{n}$ , as métricas $d, d^{'} e d^{″}$ são equivalentes, pois cumprem $d^{″} \leq d \leq d^{'} \leq n . d^{″}$ . Em particular, no espaço $ℝ^{𝕟}$ , as métricas $d (x, y) = \sqrt{\sum (x_{i} - y_{i})^{2}}$ , $d^{'} (x, y) = \sum | x_{i} - y_{i} |$ e $d^{″} (x, y) = m a x | x_{i} - y_{i} |$ são equivalentes.
Seja $d^{'}$ uma métrica em $M$ . Pondo $d_{1} (x, y) = d (x, y) / [1 + d (x, y)]$ e $d_{2} (x, y) = m i n {1, d (x, y)}$ obtêm- se métricas em $M$ . Afirmamos que $d_{1}$ e $d_{2}$ são ambas equivalentes a $d .$ Em particular, vemos que toda métrica é equivalente a alguma métrica limitada, pois $d_{1} (x, y) \leq 1$ e $d_{2} (x, y) \leq 1$ .

---Proposição: A bijeção $f : (M, d_{M}) \to (N, d_{N})$ é um homeomorfismo se, e somente se, a métrica $d_{M}$ é equivalente à métrica $d_{1}$ , induzida em $M$ por $f$ .

---Corolário: A aplicação $f : (M, d_{1}) \to (M, d_{2})$ é contínua se, e somente se , a métrica $d_{f} : M$ x $M \to ℝ$ , definida por $d_{f} (x, y) = d (x, y) + d_{1} (f (x), f (y))$ é equivalente a $d$ . Em particular, se $f : (M, d) \to ℝ$ é contínua, então a métrica $d_{f} (x, y) = d (x, y) + | f (x) - f (y) |$ é equivalente a $d .$

---Proposição: Sejam $M_{1} = (M, d_{1})$ e $M_{2} = (M, d_{2})$ . As seguintes afirmações são equivalentes:

$d_{1} \sim d_{2}$ .
Uma aplicação $f : M \to N$ é contínua segundo $d_{1}$ se, e somente se , é contínua segundo $d_{2}$ .
Uma função real $f : M \to N$ é contínua segundo $d_{1}$ se, e somente se , é contínua segundo $d_{2}$ .
Para todo $a \in M$ , as funções $d_{1 a} : M_{2} \to ℝ e d_{2 a} : M_{1} \to ℝ$ , dadas por $d_{1 a} (x) = d_{1} (a, x) e d_{2 a} (x) = d_{2} (a, x)$ , são contínuas no ponto $a .$
Toda bola aberta segundo uma dessas métricas contém uma bola aberta de mesmo centro segundo a outra.
As funções $d_{1} : M_{2}$ x $M_{2} \to ℝ$ e $d_{2} : M_{1}$ x $M_{1} \to ℝ$ são contínuas.

Em tese:

Duas métricas, $d_{1}$ e $d_{2}$ , sobre o mesmo espaço métrico são ditas equivalentes se induzirem a mesma topologia.
Duas métricas, $d_{1}$ e $d_{2}$ , sobre o mesmo espaço métrico são ditas uniformemente equivalentes se existirem duas constantes positivas, $C_{1}$ e $C_{2}$ tais que:

C_{1} d_{1} (x, y) \leq d_{2} (x, y) \leq C_{2} d_{1} (x, y)

Obs.: Métricas uniformemente equivalentes são equivalentes.

Referência

Lima, Elon Lages (2017). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed., 3ª impressão. [S.l.]: IMPA. 336 páginas

Predefinição:Esboço-matemática Predefinição:Portal3

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Métrica (matemática)

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Definição

Exemplos

Bolas

Métrica induzida por uma norma

Topologia induzida por uma métrica

Limitação

Convergência

Completeza

Métricas equivalentes

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