Projeção de um vetor

Projeção de a sobre b (a₁), e a componente de a ortogonal a b (a₂).

Quando 90° < θ ≤ 180°, a₁ tem sentido oposto em relação a b.

A projeção vetorial de um vetor a sobre um vetor não-nulo b (também conhecida como a componente de a na direção de b) é a projeção ortogonal de a sobre uma linha reta paralela a b. É um vetor paralelo a b, definido como $${𝐚}_1=a_1\widehat{𝐛}$$ em que $a_1$ é um escalar, denominado projeção escalar de a sobre b, e b̂ é o vetor unitário na direção de b. Por outro lado, a projeção escalar é definida como $$a_1=|𝐚|\cos \theta =𝐚\cdot \widehat{𝐛}=𝐚\cdot \frac{𝐛}{|𝐛|}$$ em que o operador · indica um produto escalar, |a| é o comprimento de a, e θ é o ângulo entre a e b. A projeção escalar é igual ao comprimento da projeção vetorial, com um sinal negativo se o sentido da projeção é oposto ao sentido de b.

O vetor componente de a perpendicular a b, por vezes também chamado de componente ortogonal de a em relação a b, é a projeção ortogonal de a sobre o plano (ou, em geral, hiperplano) ortogonal a b. Tanto a projeção a₁ quanto a componente ortogonal a₂ de um vetor a são vetores, e a sua soma é igual a a, o que implica que a componente ortogonal é dada por $${𝐚}_2=𝐚-{𝐚}_1.$$

Notação

Normalmente, a projeção vetorial é indicada com letras em negrito (por exemplo a₁), e a projeção escalar correspondente com letras normais (por exemplo a₁). Em alguns casos, especialmente no manuscrito, a projeção vetorial também é indicada utilizando um diacrítico acima ou abaixo da letra (por exemplo, ${\overrightarrow{a}}_1$ ou a₁; ver representações de vetores euclidianos para mais detalhes).

A projeção vetorial de a sobre b e a componente ortogonal correspondente, por vezes, são indicados por a_∥b e a_⊥b, respectivamente.

Definições em termos do ângulo

Projeção escalar

A projeção escalar de a sobre b é um escalar igual a $$a_1=|𝐚|\cos \theta$$ em que θ é o ângulo entre a e b.

Uma projeção escalar pode ser usada como um fator de escala para calcular a projeção vetorial correspondente.

Projeção vetorial

A projeção vetorial de a sobre b é um vetor, cuja magnitude é a projeção escalar de a sobre b e que forma com b um ângulo de 0 ou de 180 graus. Ou seja, ela é definida como $${𝐚}_1=a_1\widehat{𝐛}=(|𝐚|\cos \theta )\widehat{𝐛}$$ em que $a_1$ é a projeção escalar correspondente, como definida acima, e b̂ é o vetor unitário com o mesmo sentido de b: $$\widehat{𝐛}=\frac{𝐛}{|𝐛|}$$

Componente ortogonal

Por definição, a componente ortogonal de a em relação a b é $${𝐚}_2=𝐚-{𝐚}_1$$ Assim, $${𝐚}_2=𝐚-(|𝐚|\cos \theta )\widehat{𝐛}.$$

Definições em termos dos vetores

Quando θ não é conhecido, o cosseno de θ pode ser calculado em termos de $𝐚$ e $𝐛$, pela seguinte propriedade do produto escalar $𝐚\cdot 𝐛$: $$\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐚||𝐛|}=\cos \theta$$

Projeção escalar

Usando a propriedade anterior do produto escalar, a definição de projeção escalar se torna $$a_1=|𝐚|\cos \theta =|𝐚|\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐚||𝐛|}=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐛|}$$

Projeção vetorial

Da mesma forma, a definição da projeção vetorial de a sobre b se torna $${𝐚}_1=a_1\widehat{𝐛}=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐛|}\frac{𝐛}{|𝐛|},$$ o que é equivalente tanto a $${𝐚}_1=(𝐚\cdot \widehat{𝐛})\widehat{𝐛},$$ quanto a $${𝐚}_1=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐛{|}^2}𝐛=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{𝐛\cdot 𝐛}𝐛.$$

Computacionalmente, esta última fórmula é mais eficiente do que a anterior. Ambas requerem dois produtos escalares e, eventualmente, a multiplicação de um escalar por um vetor, mas a primeira requer ainda uma raiz quadrada e a divisão de um vetor por um escalar, enquanto que a última, além dos produtos, requer apenas a divisão de um escalar por um escalar.

Componente ortogonal

Por definição, $${𝐚}_2=𝐚-{𝐚}_1$$ Assim, $${𝐚}_2=𝐚-\frac{𝐚\cdot 𝐛}{𝐛\cdot 𝐛}𝐛.$$

Propriedades

Se 0° ≤ θ ≤ 90°, como no presente caso, a projeção escalar de a sobre b coincide com o comprimento do vetor da projeção vetorial.

Projeção escalar

A projeção escalar de a sobre b é um escalar que tem sinal negativo se 90 < θ ≤ 180 graus. Ele coincide com o comprimento |c| da projeção vetorial se o ângulo for menor do que 90°. Mais exatamente:

• a₁ = |a₁| se 0 ≤ θ ≤ 90 graus,
• a₁ = −|a₁| se 90 < θ ≤ 180 graus.

Projeção vetorial

A projeção vetorial de a sobre b é um vetor a₁ que ou é nulo ou é paralelo a b. Mais exatamente:

• a₁ = 0 se θ = 90°,
• a₁ e b têm o mesmo sentido se 0 ≤ θ < 90 graus,
• a₁ e b têm sentidos opostos se 90 < θ ≤ 180 graus.

Componente ortogonal

A componente ortogonal de a sobre b é um vetor a₂ que ou é nulo ou é ortogonal a b. Mais exatamente:

• a₂ = 0 se θ = 0 graus ou θ = 180 graus,
• a₂ é ortogonal a b se 0 < θ < 180 graus,

Representação matricial

A projeção ortogonal pode ser representada por uma matriz de projeção. Para projetar um vetor sobre o vetor unitário a = (a_x, a_y, a_z), bastaria multiplicá-lo pela seguinte matriz de projeção: $$P_a=a{a}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_x^2& a_x{a}_y& a_x{a}_z\\ a_x{a}_y& a_y^2& a_y{a}_z\\ a_x{a}_z& a_y{a}_z& a_z^2\end{array}\right]$$

Usos

A projeção vetorial é uma operação importante no processo de ortonormalização de Gram–Schmidt para bases de espaços vetoriais. Ele também é usado no teorema da separação de eixos para detectar se duas formas convexas se intersectam.

Generalizações

Uma vez que as noções de comprimento de vetor e de ângulo entre os vetores podem ser generalizadas para espaços com produto interno de dimensões arbitrárias, isso também é verdadeiro para as noções de projeção ortogonal de um vetor, projeção de um vetor sobre outro, e componente ortogonal de um vetor em relação a outro. Em alguns casos, o produto interno coincide com o ponto escalar. Sempre que eles não coincidem, o produto interno é usado em vez do produto escalar nas definições formais de projeção e de componente ortogonal.

Para um espaço com produto interno tridimensional, as noções de projeção de um vetor sobre outro e componente ortogonal em relação a um vetor podem ser generalizadas para as noções de projeção de um vetor sobre um plano, e de componente ortogonal de um vetor em relação a um plano. A projeção de um vetor sobre um plano é a sua projeção ortogonal sobre aquele plano. A componente ortogonal de um vetor em relação a um plano é a sua projeção ortogonal sobre uma reta que é perpendicular a esse plano. Ambas são vetores. O primeiro é paralelo ao plano, o segundo é ortogonal a ele. Para um vetor e um plano dados, a soma de projeção sobre o plano com a componente ortogonal a ele é igual ao vetor original.

Da mesma forma, para espaços com produto interno espaços com dimensão maior do que três, as noções de projeção sobre um vetor e de componente ortogonal a um vetor podem ser generalizadas para as noções de projeção sobre um hiperplano, e componente ortogonal a um hiperplano.

Na álgebra geométrica, elas também podem ser generalizadas para as noções de projeção e componente ortogonal de um multivetor geral sobre/em relação a qualquer k-lâmina inversível.

Ver também

• Projeção escalar

Ligações externas

• Projeção de um vetor sobre um plano Predefinição:En