Provas de identidades trigonométricas

As principais identidades trigonométricas entre funções trigonométricas são provadas, usando principalmente a geometria do triângulo retângulo. Para ângulos maiores e negativos ver funções trigonométricas.

Identidades trigonométricas elementares

Definições

Funções trigonométricas especificam as relações entre comprimentos laterais e ângulos internos de um triângulo retângulo. Por exemplo, o seno do ângulo θ é definido como sendo o comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento da hipotenusa.

As seis funções trigonométricas são definidas para todo número real, exceto, para algumas delas, para ângulos que diferem de 0 por um múltiplo do ângulo reto (90°). Referindo-se ao diagrama na direita, as seis funções trigonométricas de θ são, para ângulos menores que o ângulo reto:

$\sin (\theta )=\frac{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}=\frac{a}{h}$

$\cos (\theta )=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}=\frac{b}{h}$

$\tan (\theta )=\frac{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}=\frac{a}{b}$

$\cot (\theta )=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}}=\frac{b}{a}$

$\sec (\theta )=\frac{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}=\frac{h}{b}$

$\csc (\theta )=\frac{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}}=\frac{h}{a}$

Identidades de proporção

No caso de ângulos menores que um ângulo reto, as seguintes identidades são conseqüências diretas das definições acima através da identidade da divisão

$\frac{a}{b}=\frac{\left(\frac{a}{h}\right)}{\left(\frac{b}{h}\right)}.$

Elas permanecem válidas para ângulos superiores a 90° e para ângulos negativos.

$\tan (\theta )=\frac{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}=\frac{\left(\frac{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}\right)}{\left(\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}\right)}=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$

$\cot (\theta )=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}}=\frac{\left(\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}\right)}{\left(\frac{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}\right)}=\frac{1}{\tan (\theta )}=\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}$

$\sec (\theta )=\frac{1}{\cos (\theta )}=\frac{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}$

$\csc (\theta )=\frac{1}{\sin (\theta )}=\frac{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}}$

$\tan (\theta )=\frac{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}=\frac{\left(\frac{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\times \mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\times \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}\right)}{\left(\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\times \mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\times \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}\right)}=\frac{\left(\frac{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}\right)}{\left(\frac{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}}\right)}=\frac{\sec (\theta )}{\csc (\theta )}$

Ou

$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}=\frac{\left(\frac{1}{\csc (\theta )}\right)}{\left(\frac{1}{\sec (\theta )}\right)}=\frac{\left(\frac{\csc (\theta )\sec (\theta )}{\csc (\theta )}\right)}{\left(\frac{\csc (\theta )\sec (\theta )}{\sec (\theta )}\right)}=\frac{\sec (\theta )}{\csc (\theta )}$

$\cot (\theta )=\frac{\csc (\theta )}{\sec (\theta )}$

Identidades de ângulos complementares

Dois ângulos cuja soma é π/2 radianos (90 graus) são complementares. No diagrama, os ângulos nos vértices A e B são complementares, assim podemos intercambiar a e b, mudando θ para π/2 − θ, obtendo:

$\sin (\pi /2-\theta )=\cos (\theta )$

$\cos (\pi /2-\theta )=\sin (\theta )$

$\tan (\pi /2-\theta )=\cot (\theta )$

$\cot (\pi /2-\theta )=\tan (\theta )$

$\sec (\pi /2-\theta )=\csc (\theta )$

$\csc (\pi /2-\theta )=\sec (\theta )$

Identidades pitagóricas

Identidade 1:

${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$

Os dois resultados a seguir seguem desta e das identidades de proporção. Para obter o primeiro, dividir ambos os lados de ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$ por ${\cos }^2(x)$; para o segundo, dividir por ${\sin }^2(x)$.

${\tan }^2(x)+1={\sec }^2(x)$

$1+{\cot }^2(x)={\csc }^2(x)$

Similarmente

$1+{\cot }^2(x)={\csc }^2(x)$

${\csc }^2(x)-{\cot }^2(x)=1$

Identidade 2:

A identidade seguinte envolve todas as três funções recíprocas.

${\csc }^2(x)+{\sec }^2(x)-{\cot }^2(x)=2+{\tan }^2(x)$

Prova 2:

Considerar o diagrama do triângulo acima. Notar que $a^2+b^2=h^2$ pelo teorema de Pitágoras.

${\csc }^2(x)+{\sec }^2(x)=\frac{h^2}{a^2}+\frac{h^2}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}+\frac{a^2+b^2}{b^2}=2+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}$

Substituindo com funções apropriadas

$2+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}=2+{\tan }^2(x)+{\cot }^2(x)$

Rearranjando resulta:

${\csc }^2(x)+{\sec }^2(x)-{\cot }^2(x)=2+{\tan }^2(x)$

Identidades de soma de ângulo

Seno

Ilustração da fórmula da soma.

Desenhar uma linha horizontal (o eixo x); marcar uma origem O. Desenhar uma linha de O com um ângulo $\alpha$ acima da linha horizontal e uma segunda linha com um ângulo $\beta$ acima desta; o ângulo entre a segunda linha e o eixo x é $\alpha +\beta$.

Colocar P na linha definida por $\alpha +\beta$ a uma distância unitária da origem.

Seja PQ uma linha perpendicular à linha OQ definida pelo ângulo $\alpha$, desenhado a partir do ponto Q nesta linha até o ponto P. $\therefore$ OQP é um ângulo reto.

Seja QA uma perpendicular do ponto A no eixo x para Q e seja PB uma perpendicular do ponto B no eixo x até P. $\therefore$ OAQ e OBP são ângulos retos.

Desenhar R em PB tal que QR seja paralelo ao eixo x.

Agora o ângulo $RPQ=\alpha$ (porque $OQA=\frac{\pi }{2}-\alpha$, fazendo $RQO=\alpha ,RQP=\frac{\pi }{2}-\alpha$, e finalmente $RPQ=\alpha$)

$RPQ=\frac{\pi }{2}-RQP=\frac{\pi }{2}-(\frac{\pi }{2}-RQO)=RQO=\alpha$

$OP=1$

$PQ=\sin (\beta )$

$OQ=\cos (\beta )$

$\frac{AQ}{OQ}=\sin (\alpha )$, então $AQ=\sin (\alpha )\cos (\beta )$

$\frac{PR}{PQ}=\cos (\alpha )$, então $PR=\cos (\alpha )\sin (\beta )$

$\sin (\alpha +\beta )=PB=RB+PR=AQ+PR=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )$

Substituindo $-\beta$ em lugar de $\beta$ e usando simetria resulta

$\sin (\alpha -\beta )=\sin (\alpha )\cos (-\beta )+\cos (\alpha )\sin (-\beta )$

$\sin (\alpha -\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )-\cos (\alpha )\sin (\beta )$

Outra prova rigorosa, e bem mais simples, pode ser obtida usando a fórmula de Euler, conhecida da análise complexa. A fórmula de Euler estabelece que

$e^{i\phi }=\cos (\phi )+i\sin (\phi )$

Segue que para ângulos $\alpha$ e $\beta$ resulta:

$e^{i(\alpha +\beta )}=\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )$

Também, usando as seguintes propriedades de funções exponenciais:

$e^{i(\alpha +\beta )}=e^{i\alpha }{e}^{i\beta }=(\cos (\alpha )+i\sin (\alpha ))(\cos (\beta )+i\sin (\beta ))$

Manipulando o produto:

$e^{i(\alpha +\beta )}=(\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta ))+i(\sin (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\beta )\cos (\alpha ))$

Igualando as partes real e imaginária:

$\cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )$

$\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\beta )\cos (\alpha )$

Cosseno

Observando a figura acima,

$OP=1$

$PQ=\sin (\beta )$

$OQ=\cos (\beta )$

$\frac{OA}{OQ}=\cos (\alpha )$, então $OA=\cos (\alpha )\cos (\beta )$

$\frac{RQ}{PQ}=\sin (\alpha )$, então $RQ=\sin (\alpha )\sin (\beta )$

$\cos (\alpha +\beta )=OB=OA-BA=OA-RQ=\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )$

Substituindo $-\beta$ por $\beta$ e usando simetria é obtido:

$\cos (\alpha -\beta )=\cos (\alpha )\cos (-\beta )-\sin (\alpha )\sin (-\beta ),$

$\cos (\alpha -\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )$

Usando as fórmulas para ângulos complementares,

$\begin{array}{cc}\cos (\alpha +\beta )& =\sin (\pi /2-(\alpha +\beta ))\\ & =\sin ((\pi /2-\alpha )-\beta )\\ & =\sin (\pi /2-\alpha )\cos (\beta )-\cos (\pi /2-\alpha )\sin (\beta )\\ & =\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )\\ \end{array}$

Tangente e cotangente

Das fórmulas para seno e cosseno resulta

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}=\frac{\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )}{\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )}$

Dividindo numerador e denominador por $\cos (\alpha )\cos (\beta )$, resulta

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan (\alpha )+\tan (\beta )}{1-\tan (\alpha )\tan (\beta )}$

Subtraindo $\beta$ de $\alpha$, usando $\tan (-\beta )=-\tan (\beta )$,

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan (\alpha )+\tan (-\beta )}{1-\tan (\alpha )\tan (-\beta )}=\frac{\tan (\alpha )-\tan (\beta )}{1+\tan (\alpha )\tan (\beta )}$

Similarmente, das fórmulas para seno e cosseno resulta

$\cot (\alpha +\beta )=\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\sin (\alpha +\beta )}=\frac{\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )}{\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )}$

Dividindo então numerador e denominador por $\sin (\alpha )\sin (\beta )$, resulta

$\cot (\alpha +\beta )=\frac{\cot (\alpha )\cot (\beta )-1}{\cot (\alpha )+\cot (\beta )}$

Ou, usando $\cot (\theta )=\frac{1}{\tan (\theta )}$,

$\cot (\alpha +\beta )=\frac{1-\tan (\alpha )\tan (\beta )}{\tan (\alpha )+\tan (\beta )}=\frac{\frac{1}{\tan (\alpha )\tan (\beta )}-1}{\frac{1}{\tan (\alpha )}+\frac{1}{\tan (\beta )}}=\frac{\cot (\alpha )\cot (\beta )-1}{\cot (\alpha )+\cot (\beta )}$

Usando $\cot (-\beta )=-\cot (\beta )$,

$\cot (\alpha -\beta )=\frac{\cot (\alpha )\cot (-\beta )-1}{\cot (\alpha )+\cot (-\beta )}=\frac{\cot (\alpha )\cot (\beta )+1}{\cot (\beta )-\cot (\alpha )}$

Identidades de ângulo duplo

Das identidades para soma de ângulos resulta

$\sin (2\theta )=2\sin (\theta )\cos (\theta )$

e

$\cos (2\theta )={\cos }^2(\theta )-{\sin }^2(\theta )$

As identidades pitagóricas dão as duas formas alternativas para a último destes:

$\cos (2\theta )=2{\cos }^2(\theta )-1$

$\cos (2\theta )=1-2{\sin }^2(\theta )$

As identidades de soma dos ângulos também fornecem

$\tan (2\theta )=\frac{2\tan (\theta )}{1-{\tan }^2\theta }=\frac{2}{\cot (\theta )-\tan (\theta )}$

$\cot (2\theta )=\frac{{\cot }^2\theta -1}{2\cot (\theta )}=\frac{\cot (\theta )-\tan (\theta )}{2}$

Também pode ser provado usando a fórmula de Euler

$e^{i\phi }=\cos (\phi )+i\sin (\phi )$

Elevando ambos os lados ao quadrado

$e^{i2\phi }=(\cos (\phi )+i\sin (\phi ){)}^2$

Substituindo o ângulo pela sua versão dupla, que fornece o mesmo resultado no lado esquerdo da equação, resulta

$e^{i2\phi }=\cos (2\phi )+i\sin (2\phi )$

Segue que

$(\cos (\phi )+i\sin (\phi ){)}^2=\cos (2\phi )+i\sin (2\phi )$.

Expandindo o quadrado e simplificando no lado esquerdo da equação resulta

$i(2\sin (\phi )\cos (\phi ))+{\cos }^2(\phi )-{\sin }^2(\phi )=\cos (2\phi )+i\sin (2\phi )$.

Como as partes real e imaginária da equação devem ser iguais, resulta

${\cos }^2(\phi )-{\sin }^2(\phi )=\cos (2\phi )$,

e

$2\sin (\phi )\cos (\phi )=\sin (2\phi )$.

Identidades do ângulo metade

As duas identidades que fornecem as formas alternativas para cos(2θ) levam às seguintes equações:

$\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (\theta )}{2}},$

$\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (\theta )}{2}}.$

O sinal da raiz quadrada deve ser escolhido adequadamente—notar que se 2Predefinição:Pi é adicionado a θ, as quantidades na raiz quadrada não são alteradas, mas os lados esquerdos das equações mudam de sinal. Assim, o sinal correto a usar depende do valor de θ.

Para a função tangente a equação é:

$\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (\theta )}{1+\cos (\theta )}}.$

Multiplicando então o numerador e o denominador dentro da raiz quadrada por (1 + cos(θ)) e usando identidades pitagóricas leva a

$\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{\sin (\theta )}{1+\cos (\theta )}.$

Além disso, se o numerador e o denominador forem ambos multiplicados por (1 - cos(θ)), o resultado é

$\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{1-\cos (\theta )}{\sin (\theta )}.$

Isso também fornece

$\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)=\csc (\theta )-\cot (\theta ).$

Manipulações similares para a função cot fornecem

$\cot \left(\frac{\theta }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (\theta )}{1-\cos (\theta )}}=\frac{1+\cos (\theta )}{\sin (\theta )}=\frac{\sin (\theta )}{1-\cos (\theta )}=\csc (\theta )+\cot (\theta ).$

Diversos - a identidade da tripla tangente

Se $\psi +\theta +\varphi =\pi =$ meia circunferência (por exemplo, $\psi$, $\theta$ e $\varphi$ são os ângulos de um triângulo),

$\tan (\psi )+\tan (\theta )+\tan (\varphi )=\tan (\psi )\tan (\theta )\tan (\varphi ).$

Prova:

$\begin{array}{cc}\psi & =\pi -\theta -\varphi \\ \tan (\psi )& =\tan (\pi -\theta -\varphi )\\ & =-\tan (\theta +\varphi )\\ & =\frac{-\tan (\theta )-\tan (\varphi )}{1-\tan (\theta )\tan (\varphi )}\\ & =\frac{\tan (\theta )+\tan (\varphi )}{\tan (\theta )\tan (\varphi )-1}\\ (\tan (\theta )\tan (\varphi )-1)\tan (\psi )& =\tan (\theta )+\tan (\varphi )\\ \tan (\psi )\tan (\theta )\tan (\varphi )-\tan (\psi )& =\tan (\theta )+\tan (\varphi )\\ \tan (\psi )\tan (\theta )\tan (\varphi )& =\tan (\psi )+\tan (\theta )+\tan (\varphi )\\ \end{array}$

Diversos - a identidade da tripla cotangente

Se $\psi +\theta +\varphi =\frac{\pi }{2}=$ um quarto de circunferência,

$\cot (\psi )+\cot (\theta )+\cot (\varphi )=\cot (\psi )\cot (\theta )\cot (\varphi )$.

Prova: Substituir cada um dos $\psi$, $\theta$ e $\varphi$ com seus ângulos complementares, então as cotangentes se transformam em tangentes e vice-versa.

Dado

$\psi +\theta +\varphi =\frac{\pi }{2}$

$\therefore (\frac{\pi }{2}-\psi )+(\frac{\pi }{2}-\theta )+(\frac{\pi }{2}-\varphi )=\frac{3\pi }{2}-(\psi +\theta +\varphi )=\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=\pi$

então o resultado segue da identidade da tripla tangente.

Identidades soma para produto

• $\sin (\theta )\pm \cos (\varphi )=2\sin \left(\frac{\theta \pm \varphi }{2}\right)\cos \left(\frac{\theta \mp \varphi }{2}\right)$
• $\cos (\theta )+\cos (\varphi )=2\cos \left(\frac{\theta +\varphi }{2}\right)\cos \left(\frac{\theta -\varphi }{2}\right)$
• $\cos (\theta )-\cos (\varphi )=-2\sin \left(\frac{\theta +\varphi }{2}\right)\sin \left(\frac{\theta -\varphi }{2}\right)$

Prova de identidades senoidais

Iniciar com as identidades da soma de ângulos

$\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )$

$\sin (\alpha -\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )-\cos (\alpha )\sin (\beta )$

Adicionando ambas resulta

$\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )+\sin (\alpha )\cos (\beta )-\cos (\alpha )\sin (\beta )=2\sin (\alpha )\cos (\beta )$

Similarmente, subtraindo as duas identidades de soma de ângulos

$\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )-\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )=2\cos (\alpha )\sin (\beta )$

Sejam $\alpha +\beta =\theta$ e $\alpha -\beta =\varphi$,

$\therefore \alpha =\frac{\theta +\varphi }{2}$ e $\beta =\frac{\theta -\varphi }{2}$

Substituindo $\theta$ e $\varphi$

$\sin (\theta )+\cos (\varphi )=2\sin \left(\frac{\theta +\varphi }{2}\right)\cos \left(\frac{\theta -\varphi }{2}\right)$

$\sin (\theta )-\cos (\varphi )=2\cos \left(\frac{\theta +\varphi }{2}\right)\sin \left(\frac{\theta -\varphi }{2}\right)=2\sin \left(\frac{\theta -\varphi }{2}\right)\cos \left(\frac{\theta +\varphi }{2}\right)$

Portanto,

$\sin (\theta )\pm \cos (\varphi )=2\sin \left(\frac{\theta \pm \varphi }{2}\right)\cos \left(\frac{\theta \mp \varphi }{2}\right)$

Prova de identidades cossenoidais

Similarmente para cossenos, começando com as identidades de soma de ângulos

$\cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )$

$\cos (\alpha -\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )$

Novamente, adicionando e subtraindo

$\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )+\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )=2\cos (\alpha )\cos (\beta )$

$\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )-\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )=-2\sin (\alpha )\sin (\beta )$

Substituindo $\theta$ e $\varphi$ como antes

$\cos (\theta )+\cos (\varphi )=2\cos \left(\frac{\theta +\varphi }{2}\right)\cos \left(\frac{\theta -\varphi }{2}\right)$

$\cos (\theta )-\cos (\varphi )=-2\sin \left(\frac{\theta +\varphi }{2}\right)\sin \left(\frac{\theta -\varphi }{2}\right)$

Desigualdades

Ilustração das desigualdades seno e tangente.

A figura na direita mostra um setor de um círculo com raio 1. O setor é Predefinição:Math de todo o círculo, portanto sua área é Predefinição:Math. É assumido que Predefinição:Math.

$OA=OD=1$

$AB=\sin (\theta )$

$CD=\tan (\theta )$

A área do triângulo Predefinição:Math é Predefinição:Math, ou Predefinição:Math. A área do triângulo Predefinição:Math é Predefinição:Math, oo Predefinição:Math.

Como o triângulo Predefinição:Math está completamente dentro do setor, que por sua vez fica completamente dentro do triângulo Predefinição:Math, temos

$\sin (\theta )<\theta <\tan (\theta ).$

Este argumento geométrico baseia-se nas definições de comprimento do arco e área, que atuam como premissas, portanto é mais uma condição imposta na construção de funções trigonométricas do que uma propriedade comprovável. Para a função seno podemos lidar com outros valores. Se Predefinição:Math, então Predefinição:Math. Mas Predefinição:Math (por causa da identidade pitagórica), então Predefinição:Math. Temos então

$\frac{\sin (\theta )}{\theta }<1\mathrm{i}\mathrm{f}0<\theta .$

Para valores negativos de Predefinição:Math temos, pela simetria da função seno

$\frac{\sin (\theta )}{\theta }=\frac{\sin (-\theta )}{-\theta }<1.$

Então

$\frac{\sin (\theta )}{\theta }<1\text{se }\theta \ne 0,$

e

$\frac{\tan (\theta )}{\theta }>1\text{se }0<\theta <\frac{\pi }{2}.$

Identidades envolvendo cálculo

Preliminares

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\sin (\theta )=0$

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\cos (\theta )=1$

Identidade da razão seno e ângulo

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin (\theta )}{\theta }=1.$

Em outras palavras, a função seno é diferenciável em 0, e sua derivada é 1.

Prova: Das desigualdades prévias temos, para ângulos pequenos,

$\sin (\theta )<\theta <\tan (\theta )$,

e portanto

$\frac{\sin (\theta )}{\theta }<1<\frac{\tan (\theta )}{\theta }$,

e consideremos a desigualdade do lado direito. Como

$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$

$\therefore 1<\frac{\sin (\theta )}{\theta \cos (\theta )}.$

Multiplicando por $\cos (\theta )$

$\cos (\theta )<\frac{\sin (\theta )}{\theta }.$

Combinando com a desigualdade do lado esquerdo:

$\cos (\theta )<\frac{\sin (\theta )}{\theta }<1.$

Tomando $\cos (\theta )$ no limite $\theta \to 0$

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\cos (\theta )=1.$

Portanto,

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin (\theta )}{\theta }=1$

Identidade da razão cosseno e ângulo

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{1-\cos (\theta )}{\theta }=0$

Prova:

$\begin{array}{cc}\frac{1-\cos (\theta )}{\theta }& =\frac{1-{\cos }^2(\theta )}{\theta (1+\cos (\theta ))}\\ & =\frac{{\sin }^2(\theta )}{\theta (1+\cos (\theta ))}\\ & =\left(\frac{\sin (\theta )}{\theta }\right)\times \sin (\theta )\times \left(\frac{1}{1+\cos (\theta )}\right)\\ \end{array}$

Os limites destas três quantidades são 1, 0 e 1/2, então o limite resultante é zero.

Identidade da razão cosseno e quadrado do ângulo

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{1-\cos (\theta )}{{\theta }^2}=\frac{1}{2}$

Prova:

Como na prova precedente,

$\frac{1-\cos (\theta )}{{\theta }^2}=\frac{\sin (\theta )}{\theta }\times \frac{\sin (\theta )}{\theta }\times \frac{1}{1+\cos (\theta )}.$

Os limites destas três quantidades são 1, 1 e 1/2, então o limite resultante é 1/2.

Prova de composições de funções trigonométricas e trigonométricas inversas

Todas estas funções seguem da identidade trigonométrica pitagórica. Podemos provar por exemplo a função

$\sin [\arctan (x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

Prova:

Partindo de

${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$

dividimos esta equação por ${\cos }^2(\theta )$

${\cos }^2(\theta )=\frac{1}{{\tan }^2(\theta )+1}.$

Então usando a substituição $\theta =\arctan (x)$, e também usando a identidade trigonométrica pitagórica:

$1-{\sin }^2[\arctan (x)]=\frac{1}{{\tan }^2[\arctan (x)]+1}.$

Então usando a identidade $\tan [\arctan (x)]\equiv x$

$\sin [\arctan (x)]=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$

Ver também

• Identidade trigonométrica
• Fórmula de Euler

Bibliografia

• E. T. Whittaker e G. N. Watson. A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952