Função periódica

O seno e o cosseno são funções periódicas.

Em matemática, uma função diz-se periódica se esta repete ao longo da variável independente com um determinado período constante. Exemplos de funções periódicas bem conhecidas são as funções trigonométricas seno, co-seno, secante e co-secante que possuem período igual a 2π, e tangente e co-tangente, com período igual a π.

Definição de função real periódica

Um função $f:ℝ\to ℝ$ é dita periódica de período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que $f(x+T)=f(x)$ para todo x real.

Observe que se uma função tem período T então $f(x+nT)=f(x)$ para todo n inteiro, ou seja, é também periódica de período nT, pois:

$f(x)=f(t+T)=f(t+2T)=f(t+3T)=...=f(t+nT)$

A função constante $f(x)=c$ é T-periódica para qualquer $T>0$.

O conjunto dos períodos de uma função $f(x)$, $𝕋:=\{T\in ℝ:\mathrm{\forall }x\in ℝ,f(x+T)=f(x)\}$, pode ser vazio, discreto ou denso em $ℝ$. Se esse conjunto for vazio, a função é aperiódica, se for discreto então pode ser escrito na forma $\{n{T}_f,n\in \mathbb{Z}\}$ onde $T_f$ é um real positivo, chamado de período fundamental.

Um exemplo de função periódica não constante com períodos densos em $ℝ$ é a função indicadora de $\mathbb{Q}$ em $ℝ$, definida como:

• ${\mathrm{X}}_{\mathbb{Q}}(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in ̸\mathbb{Q}\end{array}$

Propriedades de funções reais periódicas

O conjunto das funções periódicas de um certo período $T$ formam uma álgebra, ou seja, se $f(x)$ e $g(x)$ são T-periódicas, então:

I) $f(x)+g(x)$ é T-periódica

II) $\alpha f(x)$ é T-periódica para todo $\alpha$ real

III) $f(x)*g(x)$ é T-periódica

possui ainda a propriedade de ser fechado em relação à translação:

Iv) $f(x+h)$ é T-periódica

O mesmo pode não acontecer quando não tentamos realizar as mesmas operações com função periódicas de períodos diferentes. Exemplo:

$\sin (x)$ e $\sin (\pi x)$ são periódicas com período $2\pi$ e $2$, respectivamente. No entanto $\sin (x)+\sin (\pi x)$ é aperiódica.

Por consequência, a soma de funções periódicas não é necessariamente uma função periódica;

Se uma função $f(x)$ é T-periódica e integrável, podemos definir sua média como:

$\mu =\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(x)dx$

Para toda função real periódica com período fundamental $T_f>0$, definimos a sua frequência $f$ e sua velocidade angular $\omega$ como:

• $f=\frac{1}{T}$ e
• $\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$

Temos o seguinte teorema: Se $f(t)$é uma função integrável T-periódica, então o valor da integral definida dentro de um período não depende do ponto inicial, ou seja:

$\underset{x}{\overset{x+T}{\int }}f(t)dt$ não depende de x.

Portanto, temos a seguinte identidade:

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)dt=\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}f(t)dt$

Demonstração: Escrevemos $\frac{x}{T}=n+a$como um número inteiro $n$mais uma parte fracionária $a\in [0,1)$e concluímos que podemos escrever $x=nT+y$, onde $y=aT$, isto é, $0\le y\le T$.

$I=\underset{x}{\overset{x+T}{\int }}f(t)dt=\underset{nT+y}{\overset{(n+1)T+y}{\int }}f(t)dt$

$=\underset{nT+y}{\overset{(n+1)T}{\int }}f(t)dt+\underset{(n+1)T}{\overset{(n+1)T+y}{\int }}f(t)dt$

Mudança de variáveis $t=nT$ e $t=(n+1)T+v$:

$I=\underset{y}{\overset{T}{\int }}f(u+nT)du+\underset{0}{\overset{y}{\int }}f(v+(n+1)T)dv$

Da periodicidade, temos que $f(u)=f(u+nT)$e $f(v)=f(v+(n+1)T):$

$I=\underset{y}{\overset{T}{\int }}f(u)du+\underset{0}{\overset{y}{\int }}f(v)dv$

$=\underset{0}{\overset{y}{\int }}f(v)dv+\underset{y}{\overset{T}{\int }}f(u)du$

Como u e v são variáveis mudas, as integrais envolvidas podem ser escritas em termos de t da seguinte forma:

$I=\underset{0}{\overset{y}{\int }}f(t)dt+\underset{y}{\overset{T}{\int }}f(t)dt$

$=\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)dt$

Funções Complexas Duplamente Periódicas

Em análise complexa, existem funções meromorfas que são duplamente periódicas, ou seja:

$f(x+T_1)=f(x+T_2)=f(x)\text{ sendo }{T}_1\text{ e }{T}_2$ números complexos cuja razão não é um número real.

As funções elípticas são exemplos de funções duplamente periódicas.

funções inteiras não constantes, no entanto, não podem ser duplo periódicas com períodos $T_1$e $T_2$ linearmente independentes nos reais. Pois tais funções seriam inevitavelmente limitadas.