Regra de l'Hôpital

Em cálculo, a Regra de L'Hôpital é um teorema que fornece uma técnica para avaliar limites de formas indeterminadas. A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.

Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$.

A Regra de L'Hôpital foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1712.

História

Guillaume de l'Hôpital publicou esta regra em seu livro de 1696 Analyze des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (tradução literal: Análise do Infinitamente Pequeno para o Entendimento de Linhas Curvas), o primeiro livro sobre cálculo diferencial. No entanto, acredita-se que a regra foi descoberta pelo matemático suíço Johann Bernoulli. Posteriormente foi-se descoberto que a regra integrou a obra do marquês, sendo também atribuída ao mesmo, mediante um acordo entre ele e Bernoulli.

Demonstração

Caso especial

A prova da regra de L'Hôpital é simples no caso em que Predefinição:Math e Predefinição:Math são continuamente diferenciáveis no ponto Predefinição:Math e onde é encontrado um limite finito após a primeira tentativa de diferenciação. Esta não é uma prova geral para a regra L'Hôpital, pois é mais estrita, necessitando tanto de diferenciabilidade das duas funções Predefinição:Math e Predefinição:Math, e que c seja um número real. Uma vez que diversas funções comuns têm derivadas contínuas (por exemplo, polinômios, seno e cosseno, função exponencial), é um caso especial que merece atenção.

Suponha que Predefinição:Math e Predefinição:Math são continuamente diferenciáveis num número real Predefinição:Math, em que $f(c)=g(c)=0$, e que $g^{\prime }(c)\ne 0$. Então

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)}=\frac{\underset{x\to c}{\lim }\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\underset{x\to c}{\lim }\left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$

Enunciado

Sejam $f$ e $g$ funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos $I$, com $g^{\prime }(x)\ne 0,\mathrm{\forall }x\in I$.

Se $\underset{x\to p}{\lim }f(x)=\underset{x\to p}{\lim }g(x)=0$ ou $\underset{x\to p}{\lim }f(x)=\underset{x\to p}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$

Então, se $\underset{x\to p}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\lambda$,

com $\lambda \in ℝ$ ou $\lambda =+\mathrm{\infty }$ ou $\lambda =-\mathrm{\infty }$:

$\underset{x\to p}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to p}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Com $p=c$, $p=c^{+}$, $p=c^{-}$, $p=+\mathrm{\infty }$ ou $p=-\mathrm{\infty }$.

É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é uma equivalência). Observa-se, também, que necessariamente $\lambda \in ℝ$ ou $\lambda =+\mathrm{\infty }$ ou $\lambda =-\mathrm{\infty }$, noutro caso nada se pode concluir.

Aplicações

A regra pode ser aplicada em exemplos como na expressão inicial abaixo, no qual um limite com $x$ tendendo à $1$, resultará num denominador $1-1$, resultando em zero. A regra de L'Hôpital tornará o denominador $1$, removendo a indeterminação.

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x^2-1{)}^{\prime }}{(x-1{)}^{\prime }}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x}{1}=\underset{x\to 1}{\lim }2x=2*1=2$

Já na expressão inicial abaixo, com $x$ tendendo à $\mathrm{\infty }$, o denominador será infinito, uma indeterminação. A regra de L'Hôpital também tornará o denominador $1$, removendo a indeterminação.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(e^x{)}^{\prime }}{(x{)}^{\prime }}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$

Algumas aplicações da regra de L'Hôpital necessitam de manipulação algébrica para se tornar uma fração para que possam ser usadas.

Na expressão abaixo, com o limite fundamental, precisa-se manipular o expoente $\frac{1}{x}$ usando propriedades do logaritmo natural para transformar a expressão numa fração.

$y=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{\frac{1}{x}}$

$ln(y)=ln\left(\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{\frac{1}{x}}\right)$

$ln(y)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{ln(x)}{x}$

aplicando a regra de L'Hôpital:

$ln(y)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(ln(x){)}^{\prime }}{(x{)}^{\prime }}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{\mathrm{\infty }}$

$ln(y)=0$

$e^{ln(y)}=e^0$

$y=e^0$

$y=1$

O mesmo pode ser usado no limite fundamental, para manipular o expoente $n$.

$k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$

$ln(k)=ln\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n\right)$

$ln(k)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\cdot ln(1+\frac{1}{n})$

$ln(k)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}$

Com a manipulação, é possível aplicar a regra para remover a indeterminação:

$ln(k)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\left(\frac{-1}{n^2}\right)}{(1+\frac{1}{n})\left(\frac{-1}{n^2}\right)}$

$ln(k)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{(1+\frac{1}{n})}=1$

$k=e$

Exemplos

Alguns exemplos podem ser fornecidos.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tg(x)}{x}=\frac{tg(0)}{0}=\frac{0}{0}$

Aplicando a regra de L'Hôpital:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tg(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(tg(x){)}^{\prime }}{(x{)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{se{c}^2(x)}{1}=1$

A regra pode ainda ser usada para calcular alguns limites notáveis tais como:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sen(x)}{x}=\frac{sen(0)}{0}=\frac{0}{0}$

Aplicando a regra

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sen(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(sen(x){)}^{\prime }}{(x{)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{cos(x)}{1}=1$

Ligações externas

• Predefinição:Link