Seminorma

Predefinição:Sem fontes Em matemática, uma seminorma consiste numa função que associa cada vetor de um espaço vetorial em um número real não negativo.

Definição

Seja $X$ um espaço vetorial sobre um corpo $𝕂$ (reais ou complexos). Uma seminorma $p$ em $X$ é toda função cujo domínio é $X$ e cujo contra-domínio são os reais não-negativos que satisfaça os seguintes axiomas:

• $p(x)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in X$;

• $p(\alpha x)=|\alpha |p(x),\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\forall }\alpha \in 𝕂$;

• $p(x+y)\le p(x)+p(y),\mathrm{\forall }x,y\in X$.

Fique bem claro que toda norma é também uma seminorma. À diferença de uma norma, pode acontecer $p(x)=0$ mesmo quando $x\ne 0$.

Também é claro da definição que $p(\mathrm{𝟎})=p(0\cdot \mathrm{𝟎})=0.p(\mathrm{𝟎})=0$.

Partição induzida por uma seminorma

Seja $p$ uma seminorma em $X$, então pode-se definir a relação de equivalência:

$x\sim y⟺p(x-y)=0$.

Então pode-se definir uma norma no espaço quociente $X/\sim$, como:

$\Vert [x]\Vert =p(x)$, onde $x$ é qualquer elemento de sua classe de equivalência $[x]$.

Este procedimento é largamente usado na análise funcional para construir espaços normados, como, por exemplo o espaço Lp.

Ver também

• Espaço vetorial topológico
• Funcional de Minkowski
• Norma

• Função não expansiva
• Função identidade
• Transformação geométrica
• Função afim
• Mapeamento contrativo