Traço (álgebra linear)

O traço de uma matrix 4x4 destacado em vermelho. Por definição, ele corresponde à soma dos elementos da diagonal principal.

Na álgebra linear, o traço de uma matriz quadrada é a função matricial que associa a matriz à soma dos elementos da sua diagonal principal. Se A=[a_ij], então

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$.

O traço de uma aplicação linear num espaço vectorial de dimensão finita é o traço da matriz que representa essa aplicação em relação a uma dada base. Este traço está bem definido porque o traço de uma matriz é invariante por semelhanças (o que é uma consequência do facto de que tr(AB)=tr(BA), para quaisquer matrizes quadradas A e B da mesma ordem).

Propriedades

• o traço é linear:

$tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$

$tr(\alpha \cdot A)=\alpha \cdot tr(A)$, para $\alpha \in 𝔽$

• o traço de uma matriz quadrada é igual ao da sua transposta:

$tr(A)=tr(A^t)$

• o traço de uma matriz quadrada qualquer é igual à soma dos seus valores próprios (autovalores).
• o traço de um produto de matrizes quadradas não depende da ordem do produto:

$tr(AB)=tr(BA)$

• Seja $\{e_k{\}}_{k=1}^n$ uma base ortonormal para o espaço linear em questão, então a definição pode ser reescrita como:

$\text{tr}(A)=\sum _{k=1}^n⟨A{e}_k,e_k⟩$

Generalização

Seja $H$ um espaço de Hilbert separável e $\{e_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ uma família ortonormal densa em $H$. O traço de um operador $A:H\to H$ é definido como:

$\text{tr}(A)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}⟨A{e}_k,e_k⟩$ contanto que a série:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert A{e}_k\Vert$ venha a convergir.

Um operador para o qual o traço está definido é chamado de operador classe tracial e é sempre compacto.

Ligações externas

Álgebra Linear e suas aplicações (ebook gratuito)