Teorema de Banach-Steinhaus

Em matemática, o teorema de Banach-Steinhaus, também conhecido como princípio da limitação uniforme é um importante resultado da análise funcional. O teorema foi originalmente publicado por Stefan Banach e Hugo Steinhaus em 1927.

Enunciado

Seja $X$ um espaço de Banach e $N$ um espaço normado não necessariamente completo. Seja ainda $\{T_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}$ uma família de operadores lineares limitados definidos de $X$ em $N$. Defina o conjunto $B$:

$B:=\{x\in X:\underset{\alpha \in \mathrm{A}}{\sup }\Vert T_{\alpha }(x)\Vert <\mathrm{\infty }\}$

Então, se $B$ é de segunda categoria em $X$ então:

• $B=X$ e
• $\underset{\alpha \in \mathrm{A}}{\sup }\Vert T_{\alpha }\Vert <\mathrm{\infty }$

Demonstrações

O teorema em si surge primeiramente para funcionais lineares contínuos por H. Hahn em 1922, mas a demonstração clássica utiliza o teorema da categoria de Baire é devida a S. Banach e H. Steinhaus em 1927. Em 2011, o matemático A. Sokal apresentou uma demonstração sem fazer o uso do mesmo.

Demonstração Clássica (usando o Teorema de Baire)

Escreva o conjunto $B$ como a seguinte reunião:

$B=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n,B_n:=\{x\in X:\underset{\alpha \in \mathrm{A}}{\sup }\Vert T_{\alpha }(x)\Vert ⩽n\}$

Como

$B_n=\bigcap _{\alpha \in \mathrm{A}}\{x\in X:\Vert T_{\alpha }(x)\Vert ⩽n\}$

e cada um dos operadores $T_{\alpha }:X⟶N$ é contínuo, $B_n$ é fechado. Do fato de que $X$ é de segunda categoria em $X$ e pelo teorema da categoria de Baire, sabemos que pelo menos um dos $B_n$ possui interior não vazio.

Da linearidade dos operadores, $B_n=n{B}_1$ e portanto, existe um $\delta >0$ e um $x_0\in B_1$ tais que:

$ℬ(x_0,\delta )\subseteq B_1$, $ℬ(x_0,\delta )$ é bola de centro $x_0$ e raio $\delta$.

Como $B_1$ é convexo, pode-se considerar $x_0=0$.

Escolha $r>0$ tal que $\Vert xr\Vert =\frac{\delta }{2}$ e estime:

$\Vert T_{\alpha }(x)\Vert =\frac{1}{r}\Vert T_{\alpha }(rx)\Vert ⩽\frac{1}{r}=\frac{2}{\delta }\Vert x\Vert$

E o resultado segue.

Demonstração por A. Sokal (sem utilizar o Teorema de Baire)

Primeiro, vejamos um resultado técnico:

Lema. Para qualquer operador linear $T:X⟶Y$ entre espaços normados, qualquer $x\in X$ e qualquer $r>0$, têm-se

$\underset{x^{\prime }\in ℬ(x,r)}{\sup }\Vert T{x}^{\prime }\Vert ⩾\Vert T{\Vert }_{\mathrm{\infty }}r$

onde $ℬ(x,r)=\{y\in X:\Vert x-y\Vert <r\}$ denota a bola aberta de centro $x$ e raio $r$.

Demonstração do Lema. De fato, para qualquer $y\in X$, vale a seguinte desigualdade:

$\frac{\Vert T(x+y)\Vert +\Vert T(x-y)\Vert }{2}⩾\Vert Ty\Vert$

dado que $2Ty=T(x+y)-T(x-y)$, aplicando a desigualdade triangular segue.

Porém, $\max (a,b)⩾(a+b)/2$ para quaisquer $a,b⩾0$ . Ou seja:

$\max (\Vert T(x+y)\Vert ,\Vert T(x-y)\Vert )⩾\Vert Ty\Vert$

Tomando a norma do supremo em $y\in ℬ(0,r)$,

$\begin{array}{cc}\Vert T{\Vert }_{\mathrm{\infty }}r& =\underset{z\in ℬ[0,1]}{\sup }\Vert Tz\Vert r\\ & =\underset{y\in ℬ(0,r)}{\sup }\Vert Ty\Vert \\ & ⩽\underset{y\in ℬ(0,1)}{\sup }\max (\Vert T(x+y)\Vert ,\Vert T(x-y)\Vert )\\ & ⩽\underset{x^{\prime }\in ℬ(x,r)}{\sup }\Vert T{x}^{\prime }\Vert \end{array}$

Terminando a demonstração do lema $◻$.

Demonstração do Teorema da Limitação Uniforme. Suponha por absurdo que $\underset{\alpha \in A}{\sup }\Vert T_{\alpha }{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$, i.e., existe uma sequência ${\left(T_{{\alpha }_n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ tal que ${\Vert T_{{\alpha }_n}\Vert }_{\mathrm{\infty }}⩾4^n$, para qualquer $n\in \mathbb{N}$.

Pelo lema técnico garantido acima, existe ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ tal que, para todo $n$,

$\Vert x_n-x_{n-1}\Vert ⩽\frac{1}{3^n}\text{ e }\Vert T_{{\alpha }_n}{x}_n\Vert ⩾\frac{2}{3^{n+1}}{\Vert T_{{\alpha }_n}\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

Tal sequência é de Cauchy e por $X$ ser um espaço de Banach, existe um $n_0\in \mathbb{N}$ de modo que $\Vert x-x_n\Vert ⩽\frac{3^n}{2}$ para todo $n⩾n_0$.

Portanto,

$\Vert T_{{\alpha }_n}x\Vert ⩾\frac{3^{-n}}{2}{\Vert T_{{\alpha }_n}\Vert }_{\mathrm{\infty }}⩾\frac{1}{6}\frac{4^n}{3^n}$

para qualquer $x\in X$ e qualquer $n\in \mathbb{N}$.

O absurdo está em contrariar a hipótese de que $\underset{\alpha \in A}{\sup }\Vert T_{\alpha }(x){\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\mathrm{\infty }$. Logo, não pode ser o caso de $\underset{\alpha \in A}{\sup }\Vert T_{\alpha }{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$. $◻$

Exemplos e Aplicações

Exemplos

Para explicitar a necessidade da hipótese de completude temos o exemplo abaixo:

Seja $𝒩$ o espaço normado dos elementos $x=\left(x_j\right)\in$ $l^{\mathrm{\infty }}(\mathbb{N})$ com $x_j\ne 0$ somente para $j$ num conjunto finito de índices. Defina $T_n:𝒩\to l^{\mathrm{\infty }}$ por $T_{n}x={\left(n{x}_j\right)}_{j\in \mathbb{N}}$. Então $T_n\in ℒ(𝒩,l^{\mathrm{\infty }})$ para todo $n$ e para cada $x\in 𝒩$ existe o limite $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{T}_{n}x=0$, mas $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert T_n\Vert =\mathrm{\infty }$.

Aplicações

Segue aplicação do teorema para estudo da continuidade de aplicações bilineares:

Corolário. Sejam $X,Y$ Espaços de Banach. Se $b:X\times Y\to ℝ$ é uma aplicação bilinear separadamente contínua (ou seja, $b(\cdot ,y)$ e $b(x,\cdot )$ são lineares e contínuas para cada $y\in Y$ e cada $x\in X$, respectivamente), então $b$ é contínua, ou seja, se $x_n\to x$ e $y_n\to y$, então $b(x_n,y_n)\to b(x,y)$.Predefinição:Portal3