Distribuição beta

Em teoria da probabilidade e estatística, a distribuição beta é uma família de distribuições de probabilidade contínuas definidas no intervalo $[0,1]$ parametrizado por dois parâmetros positivos, denotados por $\alpha$ e $\beta$, que aparecem como expoentes da variável aleatória e controlam o formato da distribuição.

A distribuição beta tem sido aplicada para modelar o comportamento de variáveis aleatórias limitadas a intervalos de tamanho finito em uma grande quantidade de disciplinas.

Em Inferência bayesiana, a distribuição beta é a distribuição conjugada a priori da distribuição de Bernoulli, distribuição binomial, distribuição binomial negativa e distribuição geométrica. Por exemplo, a distribuição beta pode ser usada na análise bayesiana para descrever conhecimentos iniciais sobre a probabilidade de sucesso assim como a probabilidade de que um veículo espacial vai completar uma missão especificada. A distribuição beta é um modelo conveniente para comportamento aleatório de porcentagens e proporções.

Caracterização

Função densidade de probabilidade

A função densidade de probabilidade (f.d.p.) da distribuição beta, para $0\le x\le 1$ e parâmetros $\alpha$ e $\beta$ $>0$ é uma função exponencial da variável $x$ e de sua reflexão $(1-x)$ como segue:

$\begin{array}{cc}f(x;\alpha ,\beta )& =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\cdot x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\\ \\ & =\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{\alpha -1}(1-u{)}^{\beta -1}du}\\ \\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\\ \\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\end{array}$

onde $\mathrm{\Gamma }(z)$ é a função gama. A função beta, $\mathrm{B}$, é uma constante de normalização para assegurar que a probabilidade total integre a 1. Nas equações acima $x$ é uma realização - um valor observado que de fato ocorreu - de um processo aleatório $X$.

Esta definição inclui os dois extremos $x=0$ e $x=1$, que é consistente com as definições para outras distribuições contínuas suportadas em um intervalo limitado que são casos especiais da distribuição beta, por exemplo a distribuição arcoseno, e consistente com diversos autores, como N. L. Johnson e S. Kotz. Entretanto, a inclusão de $x=0$ e $x=1$ não funciona para $\alpha ,\beta <1$; diversos autores, incluindo W. Feller, escolheram excluir os extremos $x=0$ e $x=1$ (portanto, os dois extremos não são realmente parte do domínio da função de densidade) e considerar ao invés $0<x<1$.

Diversos autores, incluindo N. L. Johnson e S. Kotz, usam os símbolos $p$ e $q$ (ao invés de $\alpha$ e $\beta$) para os parâmetros da distribuição de beta, reminiscente dos símbolos tradicionalmente usados dos parâmetros da distribuição de Bernoulli, porque a distribuição beta se aproxima da distribuição de Bernoulli no limite quando os dois parâmetros $\alpha$ e $\beta$ aproxima o valor de zero.

No seguinte, a variável aleatória $X$ distribuída sob a distribuição beta com parâmetros $\alpha$ e $\beta$ irá ser denotada por :

$X\sim \mathrm{Beta}(\alpha ,\beta )$

Outras notações são $X\sim ℬe(\alpha ,\beta )$ e $X\sim {\beta }_{\alpha ,\beta }$.

Equação diferencial

A função densidade de probabilidade satisfaz a equação diferencial

$f^{\prime }(x)=f(x)\frac{(\alpha +\beta -2)x-(\alpha -1)}{(x-1)x}.$

f.d.a. para a distribuição beta simétrica vs. $x$ e $\alpha$ = $\beta$

Função distribuição acumulada

A função distribuição acumulada é

$\begin{array}{cc}F(x;\alpha ,\beta )& =\frac{\mathrm{B}(x;\alpha ,\beta )}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}\\ \\ & =\frac{\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt}{B(\alpha ,\beta )}\\ \\ & =I_x(\alpha ,\beta )\end{array}$

onde $\mathrm{B}(x;\alpha ,\beta )$ é a função beta incompleta e $I_x(\alpha ,\beta )$ é a função beta incompleta regularizada.

Propriedades

Medidas de tendência central

Moda para distribuição beta para $1\le \alpha \le 5$ e $1\le \beta \le 5$

Moda

A moda da variável aleatória $X$ de distribuição beta com $\alpha$, $\beta$ $>1$ é o valor mais provável da distribuição (correspondendo ao pico na f.d.p.), e é dado pela seguinte expressão:

$Mo(X)=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}$

Quando os dois parâmetros são menores que 1 ($\alpha$, $\beta$ $<1$), isto é a anti-moda: o menor ponto da curva densidade de probabilidade.

Quando $\alpha =\beta$, a expressão para a moda é simplificada para $\frac{1}{2}$, mostrando que para $\alpha =\beta >1$ a moda está no centro da distribuição: que é simétrica nesse caso. Veja a seção "Formas" nesse artigo para uma lista completa de casos de moda, para valores arbitrários de $\alpha$ e $\beta$. Para vários desses casos, o valor máximo da função densidade ocorre em um dos dois extremos. Em alguns casos, o valor máximo da função densidade ocorrendo num extremo é finito. Por exemplo, no caso de $\alpha =2$, $\beta =1$ (ou $\alpha =1$, $\beta =2$), a função densidade se torna uma distribuição triangular que é finita nos dois extremos. Em diversos outros casos existe uma singularidade em um dos extremos, onde o valor da função densidade se aproxima do infinito. Por exemplo, no caso $\alpha$, $\beta =\frac{1}{2}$, a distribuição beta simplifica-se para se tornar a distribuição arcoseno. Existe um debate entre matemáticos sobre alguns desses casos e se os extremos ($x=0$ e $x=1$) pode ser chamados de modas ou não.

• Se os extremos são parte do domínio da função densidade
• Se uma singularidade pode alguma vez ser chamada de moda
• Se os casos com dois máximos deveriam ser chamados de bimodais

Mediana para a distribuição beta para $0\le \alpha \le 5$ e $0\le \beta \le 5$

(Média - Mediana) para distribuição beta vs. $\alpha$ e $\beta$ indo de 0 a 2

Mediana

A mediana da distribuição beta é o único número real $x=I_{\frac{1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )$ para o qual a função beta incompleta regularizada $I_x(\alpha ,\beta )=\frac{1}{2}$. Não existe uma forma fechada para a mediana da distribuição beta para valores arbitrários de $\alpha$ e $\beta$. Algumas formas fechadas para valores particulares dos parâmetros $\alpha$ e $\beta$ seguem:

• Para casos simétricos, onde $\alpha =\beta$, a mediana é igual a $\frac{1}{2}$
• Para $\alpha =1$ e $\beta >0$, a mediana é igual a $1-2^{-\frac{1}{\beta }}$
• Para $\alpha >0$ e $\beta =1$, a mediana é igual a $2^{-\frac{1}{\alpha }}$
• Para $\alpha =3$ e $\beta =2$, a mediana é igual a solução real da função de quarto grau $1-8x^3+6x^4=0$, que se encontra no intervalo $[0,1]$.

Os seguintes são os limites para a mediana da variável aleatória $X$ tem um parâmetro finito (não nulo) e o outro se aproximando desses limites:

$\begin{array}{c}\underset{\beta \to 0}{\lim }\text{Md(X)}=\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{\lim }\text{Md(X)}=1,\\ \underset{\alpha \to 0}{\lim }\text{Md(X)}=\underset{\beta \to \mathrm{\infty }}{\lim }\text{Md(X)}=0.\end{array}$

Uma aproximação razoável do valor da mediana da distribuição beta, para ambos $\alpha$ e $\beta$ maiores ou iguais a 1, é dado pela fórmula:

$\text{Md(X)}\approx \frac{\alpha -\frac{1}{3}}{\alpha +\beta -\frac{2}{3}}\text{ for }\alpha ,\beta \ge 1.$

Quando $\alpha$, $\beta \le 1$, o erro relativo (o erro absoluto dividido pela mediana) nessa aproximação é menor que 4% e para ambos $\alpha$,$\beta \ge 2$ é menor que 1%. O erro absoluto dividido pela diferença entre a média e a moda é similarmente pequeno:

$\left|\frac{\text{Mediana - aproximação}}{\text{Mediana}}\right|$ para distribuição beta para $1\le \alpha \le 5$ e $1\le \beta \le 5$

$\left|\frac{\text{Mediana - aproximação}}{\text{Média - Moda}}\right|$ para distribuição beta para $1\le \alpha \le 5$ e $1\le \beta \le 5$

Média para a distribuição beta para $1\le \alpha \le 5$ e $1\le \beta \le 5$

Média

O valor esperado (média) $\mu$ da variável aleatória $X$ sob a distribuição beta com parâmetros $\alpha$ e $\beta$ é uma função apenas da razão $\frac{\beta }{\alpha }$ desses parâmetros:

$\begin{array}{cc}\mu =\mathrm{E}[X]& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf(x;\alpha ,\beta )dx\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}dx\\ & =\frac{\alpha }{\alpha +\beta }\\ & =\frac{1}{1+\frac{\beta }{\alpha }}\end{array}$

Fazendo $\alpha =\beta$ na expressão acima, obtém-se $\mu =\frac{1}{2}$, mostrando que para $\alpha =\beta$, a média está no centro da distribuição, que é simétrica. Além dissoos seguintes limites podem ser obtidos da expressão acima:

$\begin{array}{c}\underset{\frac{\beta }{\alpha }\to 0}{\lim }\mu =1\\ \underset{\frac{\beta }{\alpha }\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu =0\end{array}$

Portanto, para $\frac{\beta }{\alpha }\to 0$ ou para $\frac{\alpha }{\beta }\to \mathrm{\infty }$, a média está localizada no extremo direito, $x=1$. Para esses limites, a distribuição beta se torna uma distribuição degenerada de um ponto com um pico de função delta de Dirac no extremo direito $x=1$, com probabilidade 1; e probabilidade 0 em todo o resto do intervalo.

Analogamente, para $\frac{\beta }{\alpha }\to \mathrm{\infty }$, ou para $\frac{\alpha }{\beta }\to 0$, a média é localizada no extremo esquerdo, $x=0$. A distribuição beta se torna uma distribuição degenerada de um ponto com um pico de função delta de Dirac no extremo esquerdo $x=0$ com probabilidade 1, e 0 em todo o resto do intervalo.

Enquanto para distribuições unimodais típicas (com modas centradas, pontos de inflexão nos dois lados da moda e caudas longas) é conhecido que a média amostral (como uma estimativa de local) não é tão robusta como a mediana amostral, o oposto é o caso para distribuições bimodais uniformes ou "em forma de U" com $\text{Beta}(\alpha ,\beta )$ tal que $\alpha$, $\beta \le 1$, isto é, com as modas localizadas nos extremos da distribuição. Como Mosteller e Tukey frizam "a média das duas observações extremas usa toda a informação amostral. Isto ilustra como, para distribuições de cauda curta, as observações extremas devem receber maior peso". Por contraste, segue que a mediana de uma distribuição bimodal em forma de U com modas nas fronteiras da distribuição (com $\text{Beta}(\alpha ,\beta )$ tal que $\alpha$, $\beta \le 1$ não é robusta, conforme a mediana amostral desconsidera as observações amostrais extremas. Uma aplicação prática disso ocorre por exemplo para passeios aleatórios, uma vez que a probabilidade para o tempo da última visita a origem em um passeio aleatório é distribuído como uma distribuição arco seno $\text{Beta}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$: a média de um número de realizações de um passeio aleatório é um estimador muito mais robusto que a mediana (que é uma medida estimativa amostral inapropriada neste caso).

Média geométrica

(Média- Média geométrica) para distribuição beta versus $\alpha$ e $\beta$ de 0 a 2, mostrando a assimetria entre $\alpha$ e $\beta$ para a média geométrica

Médias geométricas para distribuição beta. Roxo = $G(x)$, amarelo = $G(1-x)$, com os menores valores $\alpha$ e $\beta$ na frente

Médias geométricas para distribuição beta. Roxo = $G(x)$, amarelo = $G(1-x)$, com os maiores valores $\alpha$ e $\beta$ na frente

O logaritmo da média geométrica $G_X$ de uma distribuição da variável aleatória $X$ é a média aritmética de $ln(X)$ ou, equivalentemente, seu valor esperado:

$\ln G_X=\mathrm{E}[\ln X]$

Para a distribuição beta, o valor esperado da integral é:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[\ln X]& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln xf(x;\alpha ,\beta )dx\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln x\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}dx\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\partial \alpha }dx\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}\frac{\partial }{\partial \alpha }\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}\frac{\partial \mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }\\ & =\frac{\partial \ln \mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }\\ & =\frac{\partial \ln \mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\partial \alpha }-\frac{\partial \ln \mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\partial \alpha }\\ & =\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\end{array}$

onde $\psi$ é a função digama.

Assim sendo, a média geométrica de uma distribuição beta com parâmetros $\alpha$ e $\beta$ é a exponencial da função digama de $\alpha$ e $\beta$ como segue:

$G_X=e^{\mathrm{E}[\ln X]}=e^{\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}$

Enquanto para a distribuição beta com parâmetros $\alpha =\beta$, segue que a curtose = 0 e a moda = média = mediana = $\frac{1}{2}$, a média geométrica é menor que $\frac{1}{2}$ (isto é: $G_X<\frac{1}{2}$). A razão para isso é que a transformação logarítmica faz os valores de $|$ próximos de zero pesarem muito, enquanto $ln(X)$ tende rapidamente para menos infinito conforme X se aproxima de zero, enquanto $ln(X)$ aplaina perto de zero quando $X\to 1$.

Ao longo de uma linha $\alpha =\beta$, os seguintes limites se aplicam:

$\begin{array}{cc}& \underset{\alpha =\beta \to 0}{\lim }{G}_X=0\\ & \underset{\alpha =\beta \to \mathrm{\infty }}{\lim }{G}_X=\frac{1}{2}\end{array}$

Seguindo há os limites com um parâmetro finito (não-nulo) e o outro se aproximando desses limites:

$\begin{array}{c}\underset{\beta \to 0}{\lim }{G}_X=\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{\lim }{G}_X=1\\ \underset{\alpha \to 0}{\lim }{G}_X=\underset{\beta \to \mathrm{\infty }}{\lim }{G}_X=0\end{array}$

O gráfico que acompanha mostra a diferença entre a média aritmética e a média geométrica para os parâmetros de forma $\alpha$ e $\beta$ de 0 a 2. Apesar do fato de que a diferença entre elas aproxima-se de zero conforme $\alpha$ e $\beta$ aproximam-se do infinito e que a diferença se torna larga para valores de $\alpha$ e $\beta$ aproximando-se de zero, pode-se observar uma assimetria evidente da média geométrica com respeito aos parâmetros $\alpha$ e $\beta$. A diferença entre a média geométrica e a média aritmética é maior para valores pequenos de $\alpha$ em relação a $\beta$ do que quando trocando as magnitudes de $\alpha$ e $\beta$.

Medidas de dispersão estatísticas

Variança

A variança é o valor de uma distribuição beta com uma distribuição aleatória de variável X com os parâmetros α e β é

$var(X)=E[x-{\mu }^2]=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$

Tendo que α=β e através da expressão anterior tem-se que:

$var(X)=\frac{1}{4(2\beta +1)}$

Quanto mais próximo de zero for α = β a variança tende a diminuir. Quando α = β = 0 tem se que o ponto máximo da variança, var(x)=1/4. A distribuição beta é parametrizada através de sua média μ (0 <μ <1) e tamanho de amostra: ν = α + β (ν> 0), usando estás variáveis tem-se que a variança é dada por:

$var(X)=\frac{\mu (1-\mu )}{1+\nu }$

Como ν = (α + β) > 0 e var(X) < μ(1 − μ). Então uma distribuição simétrica (média) é quando μ=1/2, tendo então:

$var(X)=\frac{1}{4(1+\nu )}if\mu =\frac{1}{2}$Predefinição:Referências