Função harmônica

• Para função harmônica em música, veja funcionalidade diatônica

Função harmônica, estritamente em Matemática, é qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas. Aplica-se em vários sub-domínios da própria matemática, além de encontrar imensa e rica utilidade na física matemática, na física, em análise de processos estocásticos, entre várias aplicações.

Definição formal

Função harmônica, em Matemática, em Física, em Física matemática e em Processos estocásticos, é uma função contínua e duplamente diferenciável f : U → R (onde U é um subconjunto aberto de Rⁿ) que satisfaz a equação de Laplace, e pode ser assim expressa:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}+\cdots +\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}=0$

em todo lugar em U. Isso é também frequentemente escrito como

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0$ ou $\mathrm{\Delta }f=0.$

onde: ${\mathrm{\nabla }}^2$ é o operador laplaciano e $\mathrm{\Delta }$ é o operator Laplace-de Rham

Alternativamente, função harmônica pode ser definida de outros modos:

• Função harmônica, em Matemática, também pode ser entendida como qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas.
• Há também uma outra definição aparentemente mais frágil, contudo equivalente. Realmente, uma função é dita harmônica se e somente se é fracamente harmônica — e a aparente fragilidade conceitual decorre apenas da recorrência.

Funções harmônicas podem ser definidas num espaço riemanniano múltiplo, por meio do uso do operator Laplace-de Rham, $\mathrm{\Delta }.$

Nesse contexto, uma função é dita harmônica se $\mathrm{\Delta }f=0.$

Uma $C^2$ função que satisfaz $\mathrm{\Delta }f\ge 0$ é dita subarmônica.

Propriedades

Fórmula do Valor Médio

Seja $f\in C^2(U;ℝ)$ uma função harmônica, $U\subset {ℝ}^n$ aberto. Então, para cada $x\in U$, temos:

$f(x)=\frac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}}\underset{\partial B(x,r)}{\int }fdS,\mathrm{\forall }B(x,r)\subset U$

onde, $\alpha (n)$ é o volume da bola unitária em ${ℝ}^n$, $B(x,r)$ é a bola de centro em $x$ e raio $r$ e $\partial B(x,r)$ denota sua fronteira (a esfera de centro $x$ e raio $r$). Isto é, se $f$ é harmônica, então $f(x)$ é igual a sua média sobre qualquer esfera de centro $x$ e raio $r$ contida no seu domínio (veja, por exemplo, Evans (2010)). Predefinição:Collapse top Com efeito, seja

$\varphi (r)=\frac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}}\underset{\partial B(x,r)}{\int }fdS$.

Fazendo a mudança de variável $y=x+rz,z\in {ℝ}^n$, temos

$\varphi (r)=\frac{1}{n\alpha (n)}\underset{\partial B(0,1)}{\int }f(x+rz)dS(z)$.

Agora, calculando a derivada de $\varphi$ em relação a $r$, obtemos:

${\varphi }^{\prime }(r)=\frac{1}{n\alpha (n)}\underset{\partial B(0,1)}{\int }Df(x+rz)\cdot zdS(z)$

que, voltando a $y$ nos dá:

${\varphi }^{\prime }(r)=\frac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}}\underset{\partial B(x,r)}{\int }Df(y)\frac{y-x}{r}dS(y)=\frac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}}\underset{\partial B(x,r)}{\int }\frac{\partial f}{\partial \nu }dS$

observando que $\nu =\frac{y-x}{r}$ é a normal unitária exterior para cada $y\in \partial B(x,r)$. Aqui, $\frac{\partial f}{\partial \nu }$ denota a derivada normal de $f$.

Daí, das identidades de Green, temos que:

${\varphi }^{\prime }(r)=\frac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}}\underset{B(x,r)}{\int }\mathrm{\Delta }fdy=0$

pois, $f$ é harmônica por hipótese. Mostramos, assim, que ${\varphi }^{\prime }(r)=0$ para todo $r$, logo $\varphi$ é uma função constante e, portanto:

$\varphi (r)=\underset{t\to 0}{\lim }\varphi (t)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}}\underset{\partial B(x,r)}{\int }fdS=f(x)$

este último passo sendo uma propriedade da média de uma função. Temos, assim, demonstrado o que queríamos. Predefinição:Collapse bottom

Como consequência do resultado acima, podemos demonstrar que:

$f(x)=\frac{1}{\alpha (n)r^n}\underset{B(x,r)}{\int }fdy,B(x,r)\subset U$

isto é: se $f$ é harmônica, então $f(x)$ é igual a média de $f$ sobre qualquer bola de centro $x$ e raio $r$ contida em seu domínio. Predefinição:Collapse top Com efeito:

$\underset{B(x,r)}{\int }fdy=\underset{0}{\overset{r}{\int }}\left(\underset{\partial B(x,r)}{\int }fdS\right)ds=f(x)\underset{0}{\overset{r}{\int }}n\alpha (n)s^{n-1}ds=\alpha (n)r^{n}f(x)$.

o que demonstra o enunciado. Predefinição:Collapse bottom Esse resultado também tem uma recíproca. Se $f\in C^2(U,ℝ)$ é tal que

$f(x)=\frac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}}\underset{\partial B(x,r)}{\int }fdS,\mathrm{\forall }B(x,r)\subset U$

então, $f$ é harmônica. Em outras palavras, uma função $f$ duas vezes continuamente diferenciável cuja média sobre cada esfera contida em seu domínio é igual a função aplicada no centro da mesma é uma função harmônica. Predefinição:Collapse top Assumimos, sem perda de generalidade, que $\mathrm{\Delta }f>0$ em alguma bola $B(x,r)\subset U.$ Definindo

$\varphi (r)=\frac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}}\underset{\partial B(x,r)}{\int }fdS$

temos que $\varphi$ é constante em relação a $r$, logo ${\varphi }^{\prime }(r)=0.$ Por outro lado:

${\varphi }^{\prime }(r)=\frac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}}\underset{B(x,r)}{\int }\mathrm{\Delta }fdy>0$

o que é uma contradição. Predefinição:Collapse bottom

Princípio do Máximo

Uma função harmônica atinge seu máximo (mínimo) na fronteira. Mais precisamente, se $f:U\to ℝ$ é uma função harmônica com $f\in C^2(U)\cap C(\overline{U})$, então $\underset{\overline{U}}{\max }f=\underset{\partial U}{\max }f$, bem como $\underset{\overline{U}}{\min }f=\underset{\partial U}{\min }f$. Aqui, $U$ é um conjunto aberto, $\overline{U}$ é o fecho de $U$.

Esta propriedade é consequência do princípio do máximo forte, o qual estabelece que se, além das hipóteses acima, $U$ for conexo e existir $x_0\in U$ tal que $f(x_0)=\underset{\overline{U}}{\max }f$ $(\text{ou }f(x_0)=\underset{\overline{U}}{\min }f)$, então $f$ é constante em $U$. Esta propriedade é, por sua vez, consequência direta da fórmula do valor médio (veja acima).

Ver também

• Equação de Laplace;
• Função anarmônica;
• Função subarmônica;
• Operadores diferenciais.