Método do fator integrante

As equações diferenciais lineares de primeira ordem possuem muitas aplicações e é uma das primeiras classes de equações abordadas nos cursos de EDO. A forma mais geral de uma equação diferencial ordinária, linear e de primeira ordem é $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$, onde $p$ e $q$ são funções contínuas em um intervalo I.

Observação: Quando q(x)=0 para todo $x$∈I a equação é dita Equação Homogênea.

O Fator Integrante é uma função tal que o produto da EDO por ela faz com que o lado esquerdo da equação possa ser visto como a derivada do produto de duas funções, a saber $y$ e o fator integrante, isto é, o Método do Fator Integrante para resolução de EDO lineares de primeira ordem consiste em supor que exista uma função u(x) tal que,

$u(x)y^{\prime }+u(x)p(x)y=u(x)q(x)$

e além disso

$u(x)y^{\prime }+u(x)p(x)y=\frac{d}{dx}(u(x)y)$

Daí, sendo y≠0 e u(x)≠0, temos que:

$u(x)y^{\prime }+u(x)p(x)y=u(x)y^{\prime }+u^{\prime }(x)y$ ⇒ $u(x)p(x)=u^{\prime }(x)$

Logo,

$\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}=p(x)$

Note que,

$\frac{d}{dx}(\ln u(x))=\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$

Daí,

$\frac{d}{dx}(\ln u(x))=p(x)$⇒$\ln u(x)=\int p(x)dx+C$, onde C=0.

Portanto, $u(x)=e^{\int p(x)dx}$

Lembrando que:

$\frac{d}{dx}(u(x)y)=u(x)q(x)$

Então,

$u(x)y=\int u(x)q(x)dx$

E finalmente obtemos:

$y=\frac{\int u(x)q(x)dx+C}{u(x)}$

Onde o valor de $u(x)$ já foi deduzido.Esta última expressão é chamada solução geral da EDO.

Predefinição:Referências

Ver também

• Equações separáveis
• Método da variação de parâmetros
• Equação diferencial exata
• Redução de ordem
• Coeficientes a determinar
• Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)