Matriz anti-hermitiana

Em álgebra linear, uma matriz quadrada com entradas complexas é dita Predefinição:Pbpe se sua conjugada transposta é a negativa da matriz original. Isto é, a matriz $A$ é anti-hermitiana se satisfaz a relação

$a_{ij}=-\overline{a_{ji}}$

para todo $i$ e $j$, onde $a_{ij}$ é o elemento na linha $i$ e coluna $j$ de $A$, e a barra superior denota o complexo conjugado.

Matrizes anti-hermitianas podem ser entendidas como versões complexas de matrizes antissimétricas, ou como análogo matricial de números puramente imaginários. O conjunto de todas as matrizes anti-hermitianas $n\times n$ forma a álgebra de Lie $u(n)$, que corresponde ao grupo de Lie U(n). O conceito pode ser generalizado para incluir transformações lineares de qualquer espaço vetorial complexo com uma norma sesquilinear.

Notar que o adjunto de um operador depende do produto escalar considerado sobre o espaço real ou complexo $n$ dimensional $K^n$. Se $(\cdot |\cdot )$ denota o produto escalar sobre $K^n$, então afirmar que $A$ é anti-adjunta significa que para todo $u,v\in K^n$ tem-se $(Au|v)=-(u|Av)$.

Exemplo

Por exemplo, a seguinte matriz é anti-hermitiana

$A=\left[\begin{array}{cc}-i& 2+i\\ -2+i& 0\end{array}\right]$

pois

$-A=\left[\begin{array}{cc}i& -2-i\\ 2-i& 0\end{array}\right]$

é o transposto conjugado de $A$.

Ver também

• Matriz hermitiana
• Matriz transposta conjugada
• Matriz normal
• Matriz antissimétrica
• Matriz unitária

Bibliografia

• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.

Predefinição:Classes de matriz